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목차
주요 확률분포
특별한 구조나 특징이 있는 확률분포에 별도의 이름을 구별해 붙여 사용하면 의사소통 시 편리함
대표적 확률분포의 예들을 살펴보자.
이항분포
성공확률이 θ로 동일한 베르누이 시행을 n번 독립적으로 실시할 때,
- 성공횟수X의 분포를 이항분포라 하고
\(X∼B(n, θ)\)
확률질량함수
기대값
\(E(X) =nθ\)
분산
\(Var(X) =nθ(1−θ)\) 
예제
동전을 두 개 던질 때 둘 다 앞면이 나올 확률은θ= 1/4이다.
이러한 시행을 8회 실시해 둘 다 앞면이 나온 횟수를X라 하면,
Q1) 기대값과 분산은 각각?
X∼B(8,0.25)가 되며,
E(X) = 8×0.25 = 2,
Var(X) = 8×0.25×0.75 = 1.5이다.
Q2) X의 값이3이상이 될 확률은?
P(X≥3) = 1−P(X≤2)
= 1−P(X= 0)−P(X= 1)−P(X= 2)
= 0.3216
[R 구현]
1-pbinom(2,size=8,prob=0.25)
## [1] 0.3214569
베르누이분포 Bernoulli distribution
- 이항분포의 특별한 경우인 B(1, θ)
- 어떤 시행의 결과가 ‘성공’,’실패’인 시행
성공확률이 θ∈[0,1]인 시행을 실시해,
- 성공이 관측되면 1
- 실패가 관측되면 0
\(X∼Ber(θ)\)
확률질량함수
\(p(x) =P(X=x) =θ^x(1−θ)^1−x\), \(x= 0,1\)
베르누이 시행Bernoulli trial
베르누이 실험을 독립적으로 반복하여 시행하는 과정
이때, 확률변수 X가 모수 p인 베르누이 분포를 따른다고 했을 때,
X∼Ber(θ)에서
기대값
\(E(X) =θ\)
\(E(X) = (1 - θ) * 0 + θ * 1 = θ\)
분산
\(Var(X) =θ(1−θ)\)
\(Var(X) = E(X^2) - {E(X)}^2\)
\(= p - p^2\)
\(= p(1-p)\)
- \(E(X^2) = (1 - θ) * 0^2 + θ * 1^2 = θ\),