목차
선형 범함수
📌 선형 범함수(linear functional) 정의
벡터공간 \(V\) 위의 선형 범함수는 다음 두 조건을 만족하는 함수
\(f: V \to F\) (보통 \(F = \mathbb{R}\) 또는 \(\mathbb{C}\))이다:
-
덧셈 보존
\(f(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = f(\vec{v}_1) + f(\vec{v}_2)\) -
스칼라곱 보존
\(f(\alpha \vec{v}) = \alpha f(\vec{v})\quad (\alpha \in F)\)
→ 이 두 조건을 선형성(linearity)이라 하고,
\(f: V \to F\) 가 선형적이면서 스칼라를 출력한다면, 그것은 선형 범함수이다.
[쉽게 말하면?]
- 벡터 하나를 받아서 숫자 하나로 요약해주는 선형 함수
| 항목 | 설명 |
|---|---|
| 입력 | 벡터 |
| 출력 | 숫자 (실수 또는 복소수) |
| 특징 | 선형 연산 보존 |
🎯 예시 1: 내적 (Dot Product)
\[f(\vec{x}) = \vec{a}^\top \vec{x},\quad \vec{a} \in \mathbb{R}^n\ \text{(고정)}\]
예:
\[f\left( \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \right) = 2x_1 - x_2 + 5x_3 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\]✔️ 선형성 만족 → 선형 범함수
✔️ 모든 선형 범함수는 이런 꼴로 표현 가능 (Riesz 표현 정리에 의해)
🎯 예시 2: 함수공간에서의 선형 범함수
벡터공간 \(V = C[a, b]\) (구간 \([a, b]\) 위의 연속함수 공간)에서 다음 함수도 선형 범함수다:
\[f(g) = \int_a^b g(x) w(x)\, dx\]- \(w(x)\): 고정된 가중함수
- \(g(x)\): 입력 함수
✔️ 적분은 선형연산 → 선형성 만족
→ ✅ 선형 범함수!
🎯 예시 3: 추상적 정의 기반
벡터공간 \(V\)의 기저 \(\{e_1, e_2, \dots, e_n\}\) 에 대해,
\[f(e_i) = c_i,\quad \text{그 외 선형 확장}\]그러면 전체 벡터 \(\vec{v} = \sum a_i e_i\) 에 대해
\[f(\vec{v}) = \sum a_i f(e_i) = \sum a_i c_i\]→ 이 역시 선형 범함수!
🎯 예시 4: 머신러닝에서의 사용
선형 분류기 또는 SVM에서 등장하는 함수:
\[f(\vec{x}) = \vec{w}^\top \vec{x} + b\]- \(\vec{w}^\top \vec{x}\)는 선형 범함수
- \(+ b\)는 상수항이라 선형성은 깨짐 → affine functional
[핵심 요약 정리]
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| 정의 | \(f: V \to \mathbb{R}\), 선형성 만족 |
| 특징 | 벡터를 숫자로 요약 |
| 대표형태 | \(f(\vec{x}) = \vec{a}^\top \vec{x}\) |
| 소속 | \(f \in V^*\) (쌍대공간 원소) |
| 응용 | 함수해석학, 최적화, 머신러닝 등 |
푸리에 계수
(Fourier Coefficients )
| 개념 | 설명 |
|---|---|
| 푸리에 계수 \(a_n, b_n\) | 주기함수의 코사인/사인 성분의 크기 |
| \(a_0\) | 함수의 평균값 (DC 성분) |
| 계산 | 정현파 \(\cos(n\omega t), \sin(n\omega t)\) 와의 내적 형태의 적분 |
| 해석 | 함수가 어떤 주파수 성분을 얼마나 포함하는지를 나타냄 |
| 응용 분야 | 신호처리, 음성합성, 이미지 압축, PDE 해석 등 |
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