목차
역함수 (Inverse Function)
어떤 함수 \(f: A \to B\) 가 있을 때,
다음 조건을 만족하는 함수 \(f^{-1}: B \to A\) 가 존재하면 역함수라 한다:
즉,
\[f^{-1} \circ f = \text{id}_A,\quad f \circ f^{-1} = \text{id}_B\]→ \(f^{-1}\)은 \(f\)의 동작을 “되돌리는 함수”
가역 함수 (Invertible Function)
역함수가 존재하는 함수를 가역 함수 (invertible) 라고 한다.
역함수 존재 ⇔ 일대일(injective) + 전사(surjective)
즉, 전단사 함수 (bijective)일 때만 역함수가 존재한다.
행렬의 역함수 (역행렬)/ 공식
선형변환 \(T(\vec{x}) = A \vec{x}\) 가 있다고 하자.
이때 행렬 \(A\)에 대해 역행렬 \(A^{-1}\)이 존재하면:
\[T^{-1}(\vec{y}) = A^{-1} \vec{y}\]공식:
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]역행렬 조건:
- \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) (정방행렬이어야 함)
- \[\det(A) \ne 0\]
- \[AA^{-1} = A^{-1}A = I\]
- dim(A) = rank(A)
🎯 예시
예시 1: 역함수 존재 (가역)
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]→ \(\det(A) = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2 \ne 0\)
→ 역행렬 존재 ⇒ \(A\)는 가역 ⇒ \(T(\vec{x}) = A\vec{x}\)는 역함수 \(T^{-1}\) 가짐
예시 2: 역함수 없음 (비가역)
\[B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\]→ 열벡터가 선형종속
→ \(\det(B) = 0\) ⇒ 역행렬 없음 ⇒ \(T(\vec{x}) = B\vec{x}\)는 비가역
🎯 역행렬 구하는 법
- 행렬 역함수 (역행렬) 공식
정방행렬 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)에 대해
역행렬 \(A^{-1}\)이 존재하려면 \(\det(A) \ne 0\) 이어야 한다.
📘 2×2 행렬의 역행렬 공식
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]단, \(ad - bc \ne 0\)
예시: 행렬 \(A\)의 역행렬 구하기
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]✅ Step 1: 행렬식(det) 계산
\[\det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \ne 0\]→ 역행렬 존재 ✅
✅ Step 2: 공식에 대입
공식:
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\] \[A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}\]✅ Step 3: 검산 (확인)
\[AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(-2) + 2(1.5) & 1(1) + 2(-0.5) \\ 3(-2) + 4(1.5) & 3(1) + 4(-0.5) \end{bmatrix}\]=
\[\begin{bmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ -6 + 6 & 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I\]→ 완벽하게 검산 완료 ✅
[🧠 요약]
| 개념 | 수식 표현 | 조건 |
|---|---|---|
| 역함수 | \(f^{-1}(f(x)) = x\) | 일대일 + 전사 |
| 가역함수 | 역함수 존재 | 전단사 |
| 행렬 가역성 | \(AA^{-1} = I\) | \(\det(A) \ne 0\) |
동형 (Isomorphism)
두 벡터공간 \(V, W\)가 구조적으로 같다고 할 수 있으려면
\(V\)와 \(W\) 사이에 역함수가 존재하는 선형사상이 있어야 해.
이런 관계를 벡터공간의 동형 (vector space isomorphism)이라 한다.
[📘 정의]
벡터공간 \(V, W\) 사이의 선형사상 \(T: V \to W\)가
- 선형(linear)이고
- 일대일(Injective)이고
- 전사(Surjective)이면,
즉, \(T\)는 가역(linear bijection)
→ \(T\)는 동형사상 (isomorphism)이라 하고,
→ \(V \cong W\) (벡터공간 \(V\)와 \(W\)는 동형)이라 쓴다.
🎯 예시 1
\(\mathbb{R}^2\) 와 \(\mathbb{P}_1\) (1차 이하 다항식 공간)는 모두 차원이 2이다.
정의:
\[T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{P}_1,\quad T\left( \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \right) = a + bx\]- 선형변환
- 역함수: \(T^{-1}(a + bx) = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\)
→ ⇒ 동형사상
⇒ \(\mathbb{R}^2 \cong \mathbb{P}_1\)
🎯 예시 2
- \(\det(A) \ne 0\) ⇒ 역행렬 존재
- ⇒ \(T\)는 일대일 + 전사
- ⇒ \(T\)는 동형사상
- ⇒ \(\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n\)
❌ 반례: \(T(x, y) = (x, 0)\)
- \[T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\]
- 선형이지만, y 정보는 손실됨
- → 전사 아님, 단사도 아님
- ⇒ \(T\)는 동형사상 아님
🧠 요약
| 용어 | 정의 |
|---|---|
| 동형사상 | 선형 + 일대일 + 전사 |
| 동형인 벡터공간 | \(V \cong W\) ⇔ \(\exists\) 동형사상 \(T: V \to W\) |
| 핵심 조건 | \(\dim V = \dim W\) + \(T\)가 가역 |
표준표현
(Standard Representation)
표준표현은 벡터나 선형변환을 표준기저 기준으로 좌표화한 형태를 말해.
- 벡터 \(\vec{v}\)의 표준표현 = 표준기저 기준 좌표벡터
- 선형변환 \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)의 표준표현 = \(T\)의 표준기저 기준 행렬 표현
표준기저 (Standard Basis)
\(\mathbb{R}^n\)의 표준기저:
\[\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix},\ \vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix},\ \dots,\ \vec{e}_n = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{bmatrix}\]벡터의 표준표현
어떤 벡터 \(\vec{v} \in \mathbb{R}^n\) 이 주어졌을 때,
그 자체가 표준기저에 대한 좌표벡터이므로, 이 벡터 자체가 표준표현임:
선형변환의 표준표현
선형변환 \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 이 있을 때,
표준표현 행렬 \([T]_{\text{standard}}\)은:
표준기저의 각 벡터를 변환한 결과를 열벡터로 쌓은 행렬
즉,
\[[T]_{\text{standard}} = \begin{bmatrix} T(\vec{e}_1) & T(\vec{e}_2) & \cdots & T(\vec{e}_n) \end{bmatrix}\]🎯 예시 1
선형변환 \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) 정의:
\[T\left(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x + 2y \\ 3x \end{bmatrix}\]Step 1: 표준기저 적용
- \[T(\vec{e}_1) = T\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}\]
- \[T(\vec{e}_2) = T\left(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}\]
Step 2: 열벡터로 쌓기
\[[T]_{\text{standard}} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\]→ 이 행렬이 \(T\)의 표준표현이다.
🧠 요약
| 대상 | 표준표현 의미 |
|---|---|
| 벡터 \(\vec{v}\) | \([\vec{v}]_{\text{standard}} = \vec{v}\) |
| 선형변환 \(T\) |
가환적(commutative)
연산의 순서를 바꿔도 결과가 같다는 뜻
[📘 수학적 정의]
두 연산 대상 \(A, B\)에 대해
\[A \cdot B = B \cdot A\]이면, 이 연산은 가환적이라고 한다.
행렬
행렬곱은 일반적으로 가환적이지 않음
\(A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 라고 하더라도
\[AB \ne BA \quad \text{(보통)}\]→ 행렬곱은 일반적으로 비가환
🎯 예시 1
예시: 비가환 행렬
\[A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\]- 계산:
→ \(AB \ne BA\) ⇒ 가환X
언제 가환적일까?
-
동일 행렬인 경우:
\(AA = AA\) → 항상 가환 -
스칼라 행렬과의 곱:
\(\lambda I \cdot A = A \cdot \lambda I\) -
대각행렬끼리 곱 (같은 기저 정렬 시):
대각행렬 \(D_1, D_2\) → \(D_1D_2 = D_2D_1\) -
동시에 대각화 가능한 경우 (고급): \(A, B\)가 동시에 대각화 가능하다면 → 가환할 수 있음
선형 연산자 (Linear Operator)
선형 연산자(linear operator)는
출발지와 도착지가 같은 벡터공간인 선형변환이다.
즉,
\[T: V \to V\]이고, 다음 두 가지 성질을 만족하는 함수:
📌 선형 조건:
- \[T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})\]
- \[T(c\vec{v}) = cT(\vec{v})\]
🎯 예시 1
선형 연산자는 \(\mathbb{R}^n\) 위의 선형변환으로도 자주 등장함.
\[T(\vec{x}) = A\vec{x},\quad A \in \mathbb{R}^{n \times n}\]이때 \(T\)는 선형 연산자, \(A\)는 그 표준행렬 표현이다.
🎯 예시 2: 회전 연산자
→ \(\mathbb{R}^2\) 벡터를 반시계방향으로 90도 회전시키는 선형 연산자
🎯 예시 3: 항등 연산자
→ 벡터를 그대로 돌려주는 연산자
→ \(I_n\)은 항등 연산자(identity operator)의 행렬 표현
🎯 예시 4: 사영 연산자 (projection)
→ x축에 수직으로 사영
→ \(T^2 = T\) (사영 연산자의 성질)
닮음
두 정방행렬 \(A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 가
다음 조건을 만족하면 닮음(similar) 하다고 한다:
이때,
\[A \sim B \quad \text{(A와 B는 닮음)}\][닮음의 의미]
- \(A\)와 \(B\)는 동일한 선형연산자를 다른 기저에서 표현한 것
- \(B\)는 \(A\)를 기저변환한 결과
- 즉, 같은 연산이지만 표현이 다름
[성질]
닮음은 다음 성질들을 공유한다:
| 항목 | 설명 |
|---|---|
| 고유값 | \(A\)와 \(B\)는 고유값이 같다 |
| 행렬식 | \(\det(A) = \det(B)\) |
| 트레이스 | \(\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(B)\) |
| 계수 다항식 | \(\text{Characteristic Polynomial}\) 동일 |
| 랭크 | 같음 |
| 대각화 가능 여부 | 동일 |
🎯 예시: 닮음 확인
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)
→ 고유값은 \(\lambda = 2\) (중근)
이 행렬은 대각화는 안 되지만, 다음과 같은 행렬과 닮음:
\(P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
계산하면:
\[B = P^{-1} A P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\]→ \(B\)는 대각행렬
→ \(A \sim B\)