목차
역함수 (Inverse Function)
어떤 함수 \(f: A \to B\) 가 있을 때,
다음 조건을 만족하는 함수 \(f^{-1}: B \to A\) 가 존재하면 역함수라 한다:
즉,
\[f^{-1} \circ f = \text{id}_A,\quad f \circ f^{-1} = \text{id}_B\]→ \(f^{-1}\)은 \(f\)의 동작을 “되돌리는 함수”
가역 함수 (Invertible Function)
역함수가 존재하는 함수를 가역 함수 (invertible) 라고 한다.
역함수 존재 ⇔ 일대일(injective) + 전사(surjective)
즉, 전단사 함수 (bijective)일 때만 역함수가 존재한다.
행렬의 역함수 (역행렬)/ 공
선형변환 \(T(\vec{x}) = A \vec{x}\) 가 있다고 하자.
이때 행렬 \(A\)에 대해 역행렬 \(A^{-1}\)이 존재하면:
\[T^{-1}(\vec{y}) = A^{-1} \vec{y}\]공식:
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]역행렬 조건:
- \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) (정방행렬이어야 함)
- \[\det(A) \ne 0\]
- \[AA^{-1} = A^{-1}A = I\]
🎯 예시
예시 1: 역함수 존재 (가역)
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]→ \(\det(A) = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2 \ne 0\)
→ 역행렬 존재 ⇒ \(A\)는 가역 ⇒ \(T(\vec{x}) = A\vec{x}\)는 역함수 \(T^{-1}\) 가짐
예시 2: 역함수 없음 (비가역)
\[B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\]→ 열벡터가 선형종속
→ \(\det(B) = 0\) ⇒ 역행렬 없음 ⇒ \(T(\vec{x}) = B\vec{x}\)는 비가역
🎯 역행렬 구하는 법
- 행렬 역함수 (역행렬) 공식
정방행렬 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)에 대해
역행렬 \(A^{-1}\)이 존재하려면 \(\det(A) \ne 0\) 이어야 한다.
📘 2×2 행렬의 역행렬 공식
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]단, \(ad - bc \ne 0\)
예시: 행렬 \(A\)의 역행렬 구하기
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]✅ Step 1: 행렬식(det) 계산
\[\det(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \ne 0\]→ 역행렬 존재 ✅
✅ Step 2: 공식에 대입
공식:
\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\] \[A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}\]✅ Step 3: 검산 (확인)
\[AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(-2) + 2(1.5) & 1(1) + 2(-0.5) \\ 3(-2) + 4(1.5) & 3(1) + 4(-0.5) \end{bmatrix}\]$$
\begin{bmatrix} -2 + 3 & 1 - 1
-6 + 6 & 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0
0 & 1 \end{bmatrix} = I $$
→ 완벽하게 검산 완료 ✅
[🧠 요약]
| 개념 | 수식 표현 | 조건 |
|---|---|---|
| 역함수 | \(f^{-1}(f(x)) = x\) | 일대일 + 전사 |
| 가역함수 | 역함수 존재 | 전단사 |
| 행렬 가역성 | \(AA^{-1} = I\) | \(\det(A) \ne 0\) |