목차
순서기저 (Ordered Basis)
\[\text{기저 벡터들에 순서를 부여한 것}\]벡터공간 \(V\)의 기저 \(\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n\}\) 에
순서를 명확히 지정한 튜플:
- 순서가 중요:
\((\vec{v}_1, \vec{v}_2) \ne (\vec{v}_2, \vec{v}_1)\) - 좌표벡터 표현은 이 순서기저 기준으로 만들어짐
표준 순서기저 (Standard Ordered Basis)
\[\text{유클리드 공간 } \mathbb{R}^n \text{의 기본 방향을 나타내는 순서기저}\]예: \(\mathbb{R}^3\)의 표준 순서기저
\[\mathcal{E} = \left( \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \right) = \left( \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \right)\]→ 가장 일반적으로 사용하는 기준축
좌표벡터 (Coordinate Vector)
\[\text{어떤 벡터를 순서기저 기준으로 나타낸 좌표 형태의 벡터}\]벡터 \(\vec{v}\)가 순서기저 \(\mathcal{B} = (\vec{b}_1, \vec{b}_2, \dots, \vec{b}_n)\) 에 대해
\[\vec{v} = c_1 \vec{b}_1 + c_2 \vec{b}_2 + \cdots + c_n \vec{b}_n\]일 때,
👉 좌표벡터는:
\[[\vec{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}\]🎯 예시
벡터 \(\vec{v} = \begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}\) 가 있고,
기저 \(\mathcal{B} = \left( \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix} \right)\) 이라고 하자.
$\vec{v}$를 다음과 같이 표현할 수 있다면:
\[\vec{v} = 3 \cdot \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}\]→ \([\vec{v}]_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix}3 \\ 2\end{bmatrix}\)
[요약]
| 개념 | 설명 | 기호 |
|---|---|---|
| 순서기저 | 기저 + 순서 | \((\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots)\) |
| 표준기저 | \(\mathbb{R}^n\)의 기본 기저 | \((\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n)\) |
| 좌표벡터 | 기저 기준으로 표현된 성분 | \([\vec{v}]_{\mathcal{B}}\) |
행렬곱 (선형변환의 합성)
행렬 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 와 \(B \in \mathbb{R}^{n \times p}\) 가 있을 때:
\[T_B: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n,\quad T_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\]이 둘을 합성한 선형변환:
\[T = T_A \circ T_B\]→ 이 합성은 행렬 곱으로 표현됨:
\[T(x) = A(Bx) = (AB)x\]즉, 행렬곱 \(AB\)는 선형변환의 합성과 같다.
행렬곱의 방향
= 함수 적용 순서의 역순
\[(AB)x = A(Bx)\]- \(x\)에 먼저 \(B\)가 적용되고
- 그 결과에 \(A\)가 적용됨
즉, 곱은 좌측에서 오른쪽으로 쌓이지만, 실제 적용은 우측부터 시작됨.
🎯 예시
행렬:
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\] \[AB = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 17 \end{bmatrix}\]벡터 \(x = \begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}\) 에 대해,
\[ABx = A(Bx)\]\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\] \[\vec{x} = \begin{bmatrix}4 \\ 5\end{bmatrix}\]
✅ Step 1: 먼저 \(\vec{x}\)에 \(B\)를 적용
\[B \vec{x} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 4 + 1 \cdot 5 \\ 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 + 5 \\ 0 + 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 5 \end{bmatrix}\]✅ Step 2: 그 결과에 \(A\)를 적용 (즉, \(A(B\vec{x})\))
\[A \begin{bmatrix} 17 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 17 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 17 + 0 \cdot 5 \\ 0 \cdot 17 + 2 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 10 \end{bmatrix}\]✅ Step 3: \(AB\) 직접 계산해도 동일해야 함
\[AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\]✅ Step 4: 이제 \(AB \vec{x}\) 계산
\[\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 4 + 1 \cdot 5 \\ 0 \cdot 4 + 2 \cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 + 5 \\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 10 \end{bmatrix}\]✅ 동일 결과! → 행렬곱 = 선형변환 합성
좌측 곱 변환 (Left Multiplication)
어떤 행렬 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 가 주어졌을 때,
함수 \(T_A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 를 다음과 같이 정의한다:
이때 \(T_A\)를 좌측 곱 변환 (left multiplication transformation) 이라고 한다.
- 입력: \(\vec{x} \in \mathbb{R}^n\)
- 출력: \(A \vec{x} \in \mathbb{R}^m\)
즉, 행렬 \(A\)가 좌측에서 곱해져서 벡터를 변환시키는 선형변환이다.
[정리]
- 선형변환 \(T(x) = Ax\)는 항상 좌측 곱으로 표현됨
- 행렬곱 \(AB\)는 \(T_A \circ T_B\)에 대응
- 행렬곱의 순서 → 적용 순서의 역방향
🎯 예시
예시 1: x축으로 2배 늘리기
행렬 \(A\):
\[A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]→ x축으로 2배 스케일하는 변환
입력 벡터:
\[\vec{x} = \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\]계산:
\[T_A(\vec{x}) = A\vec{x} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix}\]→ x방향만 2배로 늘어난 결과
예시 2: 90도 회전 변환
행렬 \(A\):
\[A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]→ 원점을 중심으로 반시계방향 90도 회전
입력:
\[\vec{x} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\]변환:
\[T_A(\vec{x}) = A \vec{x} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]→ x축 방향이 y축 방향으로 회전된 결과
결합행렬 (Composite Matrix)
두 선형변환:
- \(T_1: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n\),
- \[T_2: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\]
이 주어졌을 때, 그 합성:
\[T = T_2 \circ T_1: \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^m\]는 새로운 하나의 선형변환이 된다.
각 변환이 다음과 같은 행렬로 표현된다면,
- \[T_1(\vec{x}) = B\vec{x},\quad B \in \mathbb{R}^{n \times p}\]
- \[T_2(\vec{y}) = A\vec{y},\quad A \in \mathbb{R}^{m \times n}\]
합성 \(T\)는 하나의 행렬 \(AB\)로 표현된다:
\[T(\vec{x}) = A(B\vec{x}) = (AB)\vec{x}\]→ 이때 \(AB\)를 결합행렬(composite matrix)라고 한다.
🎯 예시
→ \(T(\vec{x}) = AB \vec{x}\) 는 \(B\)를 먼저 적용하고 \(A\)를 적용한 결과
지배관계 (Domination between Linear Transformations)
지배관계는 선형변환 \(T_1, T_2\) 사이의 상대적 포함 관계를 의미한다.
예를 들어, \(T_2\)가 \(T_1\)보다 “출력 범위가 더 크다” 또는 “정보를 더 보존한다”는 의미.
선형변환 \(T_1, T_2: V \to W\) 에 대해
\[T_2 \text{ 가 } T_1 \text{ 을 지배한다 } \iff \operatorname{Im}(T_1) \subseteq \operatorname{Im}(T_2)\]즉, \(T_1\)이 생성할 수 있는 모든 벡터는 \(T_2\)도 생성 가능함.
-
이미지 포함관계: \(\operatorname{Im}(T_1) \subseteq \operatorname{Im}(T_2)\)
-
핵 포함관계 (정보 보존 관점): \(\ker(T_2) \subseteq \ker(T_1)\)
→ \(T_2\)는 더 적은 정보를 버리고 더 넓은 공간으로 보냄.
🎯 예시
선형변환들:
- \[T_1(\vec{x}) = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \vec{x}\]
- \[T_2(\vec{x}) = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \vec{x}\]
→ \(T_1\)은 y값을 없애고 x축으로 보내고,
→ \(T_2\)는 모든 벡터를 그대로 보냄
비교:
- \[\operatorname{Im}(T_1) = x\text{-축},\quad \operatorname{Im}(T_2) = \mathbb{R}^2\]
- \[\operatorname{Im}(T_1) \subseteq \operatorname{Im}(T_2)\]
- \(T_2\)는 \(T_1\)을 지배한다.
[요약]
| 개념 | 의미 | 수식 표현 |
|---|---|---|
| 결합행렬 | \(T = T_2 \circ T_1\) | \(T(\vec{x}) = A(B\vec{x}) = (AB)\vec{x}\) |
| 지배관계 | \(T_2\)가 \(T_1\)보다 더 넓게 작용함 | \(\operatorname{Im}(T_1) \subseteq \operatorname{Im}(T_2)\) |