목차
- 선형변환 (Linear Transformation)
- 변환 (Transformation)
- 공간 (Vector Space)
- 차원 (Dimension)
- 함수 종류 (Types of Functions)
선형변환 (Linear Transformation)
\[\text{벡터공간 } V \to W \text{ 사이의 함수 } T \text{가 다음 두 조건을 만족하면, } T \text{를 선형변환이라 한다.}\][정의 (Definition)]
함수 \(T: V \to W\) 가 다음 두 조건을 만족할 때:
-
덧셈 보존
\(T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})\) -
스칼라곱 보존
\(T(c \vec{v}) = c \cdot T(\vec{v})\)
그럼 \(T\)는 선형변환(linear transformation)이다.
🔁 회전 (Rotation)
\[\text{벡터를 원점을 중심으로 일정한 각도만큼 회전시키는 선형변환이다.}\]🎯 2차원에서 회전하는 변환
\(\theta\)만큼 회전
\[R_\theta = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\] \[T(\vec{v}) = R_\theta \cdot \vec{v}\]🎯 예시: 90도 회전
(\(\theta = \frac{\pi}{2}\)):
\[R_{\pi/2} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\] \[T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]→ x축 방향 벡터가 y축 방향으로 회전됨
🔄 대칭 (Reflection)
\[\text{벡터를 어떤 직선이나 평면을 기준으로 '뒤집는' 선형변환이다.}\]🎯 대칭 예
[✅ x축 대칭 행렬]
\[M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\][✅ y축 대칭 행렬]
\[M = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]🎯 대칭 예 2
→ x축 기준으로 대칭됨
🔽 3. 사영 (Projection)
\[\text{벡터를 어떤 직선이나 평면 위로 '내려놓는' 선형변환이다.}\]🎯 사영 예
[✅ x축 위로 사영]
\[P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\][✅ y축 위로 사영]
\[P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]🎯 사영 예 2
→ y성분을 없애고 x축 위로 사영
[요약 비교]
| 변환 | 특징 | 행렬 예시 |
|---|---|---|
| 회전 | 각도만큼 돌림 | \(\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}\) |
| 대칭 | 축 기준으로 반사 | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\) 등 |
| 사영 | 성분 일부 제거 | \(\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{bmatrix}\) 등 |
변환
항등변환 (Identity Transformation)
모든 벡터를 자기 자신으로 보내는 선형변환
\[T(\vec{v}) = \vec{v} \quad \text{for all } \vec{v} \in V\][행렬 표현]
\[I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\] \[T(\vec{v}) = I \cdot \vec{v} = \vec{v}\][성질]
- 모든 벡터를 변화 없이 유지
- 모든 선형변환의 항등원 역할
- 항등행렬과 동일
영변환 (Zero Transformation)
모든 벡터를 영벡터로 보내는 선형변환
\[T(\vec{v}) = \vec{0} \quad \text{for all } \vec{v} \in V\][행렬 표현]
\[O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\] \[T(\vec{v}) = O \cdot \vec{v} = \vec{0}\][성질]
- 모든 벡터가 하나의 점(영벡터)로 모임
- 항등변환과 반대 성격
- 영행렬로 표현됨
🎯 항등변환, 영변환 예
-
항등변환:
\[T(\vec{v}) = \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\] -
영변환:
\[T(\vec{v}) = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\]
[요약 비교]
| 항목 | 항등변환 | 영변환 |
|---|---|---|
| 정의 | \(T(\vec{v}) = \vec{v}\) | \(T(\vec{v}) = \vec{0}\) |
| 행렬 | 단위행렬 \(I\) | 영행렬 \(O\) |
| 성질 | 모든 벡터를 그대로 유지 | 모든 벡터를 0으로 보냄 |
공간
영공간 (Null Space / Kernel)
N(x)
\[\text{선형변환 } T: V \to W \text{ 에 대해,}\] \[\text{T가 0으로 보내는 벡터들의 집합}\] \[\operatorname{Null}(T) = \{ \vec{v} \in V \mid T(\vec{v}) = \vec{0} \}\]또는 행렬 \(A\)에 대해:
\[\operatorname{Null}(A) = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\vec{x} = \vec{0} \}\][성질]
- 항상 부분공간
- 차원 = 널리티(nullity)
- 해의 존재성과 관련 있음
🎯 예시
일 때,
\[A\vec{x} = \vec{0} \text{ 을 만족하는 } \vec{x} \text{ 들의 집합이 } \operatorname{Null}(A)\]이 예에서는 해가 무한히 많음 → 1차원 공간이 영공간
다음 방정식의 해를 구하자:
\[A \vec{x} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\]해당 연립방정식은:
\[\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0 \\ 3x_1 + 6x_2 = 0 \end{cases} \Rightarrow x_1 = -2x_2\]그러므로 영공간은 다음과 같다:
\[\operatorname{Null}(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}\]→ 1차원 부분공간이며, 원점을 지나는 직선 형태
상공간 (Column Space / Image / Range)
R(x)
행렬의 열벡터들로 생성되는 공간 (Span)
또는, 선형변환이 도달할 수 있는 모든 벡터들의 집합
또는 행렬 \(A\)에 대해:
\[\operatorname{Col}(A) = \text{Span of columns of } A\][성질]
- 항상 부분공간
- 차원 = 랭크(rank)
- 변환의 결과 공간
🎯 예시
→ 두 열은 선형종속 → 상공간은 1차원
\[\operatorname{Col}(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix} \right\}\][✅ 예시 1: 2×2 단위행렬]
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]열벡터:
\[\vec{a}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \vec{a}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\]→ 선형독립 → 모든 \(\mathbb{R}^2\) 생성
상공간:
\[\operatorname{Col}(A) = \mathbb{R}^2\][✅ 예시 2: 열벡터가 선형종속]
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\]열벡터:
\[\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}\]→ 두 번째 벡터는 첫 번째의 2배
상공간:
\[\operatorname{Col}(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix} \right\}\]⇒ 직선 (1차원 부분공간)
[✅ 예시 3: 3×2 행렬 (열벡터 선형종속)]
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\]열벡터:
\[\vec{a}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 3 \\ 5\end{bmatrix}, \quad \vec{a}_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 4 \\ 6\end{bmatrix}\]→ \(\vec{a}_2 = 2 \cdot \vec{a}_1\) ⇒ 선형종속
상공간:
\[\operatorname{Col}(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 3 \\ 5\end{bmatrix} \right\}\]⇒ 3차원 공간 안의 직선
[✅ 예시 4: 3×3 행렬, 랭크 = 2]
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]열벡터:
\[\vec{a}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\quad \vec{a}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix},\quad \vec{a}_3 = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\]→ \(\vec{a}_3 = \vec{a}_1 + \vec{a}_2\) ⇒ 선형종속
상공간:
\[\operatorname{Col}(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \right\} = \text{xy-평면 } (z = 0)\][✅ 예시 5: 3×3 단위행렬]
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]열벡터: 표준기저 \(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\)
상공간:
\[\operatorname{Col}(A) = \mathbb{R}^3\]→ 3차원 전체 공간
[✅ 예시 7: xy평면 생성]
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\]열벡터:
\[\begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\]상공간:
\[\operatorname{Col}(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \right\} = \text{xy-평면} \subset \mathbb{R}^3\][✅ 예시 9: 선형시스템과의 연결]
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\]방정식 \(A \vec{x} = \vec{b}\) 를 풀고 싶을 때:
- \(\vec{b} \in \operatorname{Col}(A)\) → 해 존재
- \(\vec{b} \notin \operatorname{Col}(A)\) → 해 없음
예:
- \(\vec{b} = \begin{bmatrix}3 \\ 7 \\ 11\end{bmatrix}\) → ✅ 해 존재
- \(\vec{b} = \begin{bmatrix}3 \\ 7 \\ 99\end{bmatrix}\) → ❌ 해 없음
[요약 비교]
| 항목 | 영공간 (Null Space) | 상공간 (Column Space / Image) |
|---|---|---|
| 정의 | \(T(\vec{v}) = \vec{0}\) 인 벡터 집합 | \(T(\vec{v})\) 로 나올 수 있는 벡터 집합 |
| 관련성 | 해의 존재와 자유도 | 출력 가능 범위 |
| 차원 이름 | 널리티(nullity) | 랭크(rank) |
| 위치 | 정의역 내부 | 공역 내부 |
차원
영공간의 차원 (Nullity)
선형변환 \(T : V \to W\) 또는 행렬 \(A\)에 대해
\[\operatorname{Null}(A) = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\vec{x} = \vec{0} \}\]→ 영공간은 A의 해 공간이자 부분공간
영공간의 차원은 그 해 공간의 자유변수 개수 = 널리티(nullity) 라고 한다.
상공간의 차원 (Rank)
행렬 \(A\)의 열벡터들이 생성하는 공간을 상공간(Column space) 또는 이미지(Image) 라고 한다.
\[\operatorname{Col}(A) = \text{Span of columns of } A\]→ 이 공간의 차원 = 랭크(rank)
차원 정리 (dimension theorem)
\[A \in \mathbb{R}^{m \times n} \text{ 이고 } \operatorname{rank}(A) = r \text{ 이면,}\] \[\operatorname{nullity}(A) = n - r\]즉,
\[\dim(\text{영공간}) + \dim(\text{상공간}) = \text{열벡터 개수 } n\]벡터 공간 V, W와 선형변환 T:V -> W 에 대하여, V가 유한차원이면 다음이 성립한다.
\[nullity(T) + rank(T) = \dim(V)\]🎯 예시
행렬:
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}\]→ 두 번째 행은 첫 번째 행의 2배 → 랭크 = 1
행렬의 열 개수 \(n = 3\) 이므로
\[\operatorname{nullity}(A) = 3 - 1 = 2\]→ 영공간은 2차원 평면 (자유변수 2개)
함수 종류
단사함수 (One-to-One)
= 일대일 함수
\[\text{서로 다른 입력값이 서로 다른 출력값으로 대응되는 함수}\]즉,
\[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\]또는 동치로:
\[x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)\]선형변환 T:V->W에 대해서,
✨✨T는 담사함수이다 = N(T) = {0}✨✨
=> nullity(T) = 0
=> rank(T) = dim(V)
=> rank(T) = dim(W)
=> dim(R(T)) = dim(W)
=> R(T) = W
[예시]
- \[f(x) = 2x\]
→ 서로 다른 입력은 서로 다른 출력 → 일대일 함수 ✅
-
\(f(x) = x^2\) (정의역: \(\mathbb{R}\))
→ \(f(2) = f(-2) = 4\)
→ 서로 다른 입력이 같은 출력 → 일대일 아님 ❌
[성질]
- \(\ker(T) = \{\vec{0}\}\) (영공간이 trivial)
- 해가 유일함
[문풀의 관점]
nullity = 0 이어야함.
즉, rank = dim이어야함
전사 함수 (Onto function)
\[\text{공역의 모든 값이 적어도 하나의 입력값에서 나오는 함수}\]즉, \(f : X \to Y\) 에 대해
\[\forall y \in Y,\ \exists x \in X \text{ such that } f(x) = y\]→ 공역 전체가 도달 가능해야 함
행렬 A, 또는 선형변환 T:V->W에서
T가 도달할 수 있는 벡터들의 집합 -> Im(T)
그 공간의 차원이 크임
rank(t) = dim(Im(T)) = dim(Col(A))
[예시]
- \[f(x) = x^3,\quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\]
→ 임의의 실수 \(y\)에 대해 \(x = \sqrt[3]{y}\) 존재
→ 전사 ✅ - \[f(x) = x^2,\quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\]
→ 음수는 출력될 수 없음 → 전사 아님 ❌
[문풀의 관점]
\(R^n = R^m\), 행렬이 주어졌을때,
행렬의 rank = m 이어야함.
[성질]
- 상공간 = 공역
- 해가 항상 존재 (단, 유일하지 않을 수 있음)
🎯 예시
예시 1: 정방행렬 \(A\)가 가역이면
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]→ \(\det(A) \ne 0\) → 역행렬 존재
→ \(A\)는 일대일, 전사 둘 다 만족
예시 2: 열이 선형종속이면
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\]→ \(\vec{a}_2 = 2 \cdot \vec{a}_1\) → 선형종속
→ \(\operatorname{rank}(A) = 1 < 2\)
→ 일대일도 전사도 아님 ❌
🧪 전사 vs 단사 판별 예시
🎯 예제 1: \(f(x) = 3x + 1,\quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
🔎 단사 여부:
\[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 3x_1 + 1 = 3x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2\]→ 단사 ✅
🔎 전사 여부:
\[y = 3x + 1 \Rightarrow x = \frac{y - 1}{3} \in \mathbb{R}\]→ 임의의 \(y\)에 대해 \(x\) 존재 → 전사 ✅
📌 결론: 전단사 (bijective)
🎯 예제 2: \(f(x) = x^2,\quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)
🔎 단사 여부:
\[f(2) = 4,\quad f(-2) = 4 \Rightarrow f(2) = f(-2),\quad \text{but } 2 \ne -2\]→ 단사 ❌
🔎 전사 여부:
\[f(x) = x^2 \text{ 로는 } y < 0 \text{ 생성 불가}\]→ 전사 ❌
📌 결론: 단사 ❌, 전사 ❌
🎯 예제 3: \(f(x) = \sin x,\quad f: \mathbb{R} \to [-1, 1]\)
🔎 단사 여부:
\[\sin(0) = 0 = \sin(\pi),\quad 0 \ne \pi\]→ 단사 ❌
🔎 전사 여부:
\[\forall y \in [-1, 1],\ \exists x \in \mathbb{R} \text{ such that } \sin(x) = y\]→ 전사 ✅
📌 결론: 전사지만 단사 아님
🎯 예제 4: \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad f(x, y) = x + y\)
🔎 단사 여부:
\[f(1, 2) = 3,\quad f(2, 1) = 3 \quad \text{but } (1, 2) \ne (2, 1)\]→ 단사 ❌
🔎 전사 여부:
\[\text{임의의 } r \in \mathbb{R} \text{ 에 대해 } f(r, 0) = r\]→ 전사 ✅
📌 결론: 전사지만 단사 아님
🎯 예제 5: \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2,\quad f(x) = (x, x)\)
🔎 단사 여부:
\[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow (x_1, x_1) = (x_2, x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\]→ 단사 ✅
🔎 전사 여부:
\[f(x) = (x, x) \text{ 만 가능} \Rightarrow \text{예: } (1, 2) \text{는 나올 수 없음}\]→ 전사 ❌
📌 결론: 단사지만 전사 아님
[요약 비교표]
| 함수 유형 | 정의 | 조건 | 의미 |
|---|---|---|---|
| 일대일 (Injective) | 서로 다른 입력 → 서로 다른 출력 | \(\ker(T) = \{\vec{0}\}\) | 해가 유일 |
| 전사 (Surjective) | 모든 \(\vec{w} \in W\)에 도달 가능 | \(\operatorname{Im}(T) = W\) | 해가 존재 |
| 전단사 (Bijection) | 일대일 + 전사 | 둘 다 만족 | 역함수 존재 |