목차
- 극대 (Maximal)
- 멱집합 (Power Set)
- 사슬 (Chain)
- 하우스도르프 극대 원리 (Hausdorff Maximal Principle)
- 일차 독립인 극대 부분집합 (Maximal Linearly Independent Subset)
목표: 모든 벡터공간은 기저가 존재함을 증명
극대 (maximal)
\[\text{극대란, 더 이상 포함 관계로 확장할 수 없는 집합을 의미한다.}\]즉, 전체 집합의 부분집합 중에서,
일정한 조건을 만족하면서
그 집합에 원소를 하나라도 더 추가하면 조건을 위배하게 되는 경우,
그 집합은 극대 집합이라고 한다.
[📌 정의 (수학적으로)]
- 어떤 부분집합 \(A \subseteq S\) 가 조건 \(P\)를 만족한다고 하자.
\(A \text{는 극대 집합 } \Leftrightarrow \text{조건 } P \text{를 만족하면서 } A \subset B \text{인 집합 } B \text{는 존재하지 않음}\)
[🧠 요약]
- 극대 = “더 이상 조건을 만족하면서 키울 수 없는 집합”
- 극대 ≠ 최대
- 최대는 전체 중 “가장 큰 것”
- 극대는 “더 이상 확장 못하는 것” (여러 개 있을 수 있음)
🎯 예시 1: 부분집합에서의 극대
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집합 \(S = \{1, 2, 3\}\) 이 있고,
“원소들 간에 서로소”라는 조건을 만족해야 한다고 하자.
다음과 같은 집합들을 생각해보자:
- \(\{1\}\) → 서로소 OK
- \(\{1, 2\}\) → 1과 2는 서로소 OK
- \(\{1, 2, 3\}\) → 1,2,3은 모두 서로소 OK
- \(\{2, 4\}\) → 2와 4는 공약수 2 있으므로 조건 위배 ❌
이 중에서 \(\{1, 2, 3\}\)은 서로소 조건을 만족하면서 더 이상 확장할 수 없음 → 극대
🎯 예시 2: 선형대수에서의 극대 선형독립 집합
벡터공간 \(\mathbb{R}^3\)에서
다음 벡터들을 생각하자:
벡터 집합 \(\{v_1, v_2\}\) 은 선형독립이다.
하지만 \(v_3\)을 추가해도 여전히 선형독립.
따라서 \(\{v_1, v_2\}\)은 극대가 아니다.
반면, \(\{v_1, v_2, v_3\}\)은 \(\mathbb{R}^3\)에서
더 이상 선형독립 벡터를 추가할 수 없음 → 극대 선형독립 집합
멱집합 (Power Set)
\[\text{어떤 집합 } A \text{의 모든 부분집합들의 집합을 } A \text{의 멱집합(Power Set)이라 한다.}\] \[\mathcal{P}(A) = \{ X \mid X \subseteq A \}\]- 멱집합 = 부분집합의 집합
- 원소 개수 \(n\) → 멱집합 크기 \(2^n\)
- 공집합과 자기 자신 포함
[성질]
- 어떤 집합 \(A\)의 원소 개수가 \(n\)개라면,
그 멱집합의 원소 개수는 \(2^n\)개다. - 멱집합은 항상 공집합 \(\emptyset\)을 포함한다.
- \[A \subseteq B \Rightarrow \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(B)\]
🎯 예시
집합 \(B = \{a, b, c\}\) 라면:
\[\mathcal{P}(B) = \{ \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a, b\},\ \{a, c\},\ \{b, c\},\ \{a, b, c\} \}\]총 \(2^3 = 8\)개의 원소가 있음.
극대원소 (Maximal Element)
부분 순서 집합 \((S, \leq)\)에서
\(m \in S \text{가 극대원소 } \Leftrightarrow \nexists x \in S \text{ such that } m < x\)
즉, 진짜로 큰 놈이 더 이상 없음.
🎯 더 자세하기
즉, 어떤 원소 \(a\)에 대해서
\(a \leq b\)인 \(b\)가 존재하지만 \(a \ne b\)이면 항상 \(b \nleq a\) 라는 뜻이야.
집합 \(S = \{a, b, c\}\) 에 대해 다음과 같은 부분 순서 관계가 있다고 하자:
\[a < b,\quad a < c\] \[b \text{ 와 } c \text{ 는 서로 비교 불가능}\]부분 순서 구조 (Hasse Diagram 형태)
b c
\ /
a
- \(a\)는 \(b\)와 \(c\)보다 작다
-
\(b\)와 \(c\)는 서로 순서를 비교할 수 없다 (즉, 비교 불가능)
- \(a\)는 둘 다보다 작음 → 극대X, 최대X
- \(b\)와 \(c\)는 서로 비교 불가능
그리고 이보다 큰 원소도 없음
[결론]
-
극대원소: \(b, c\)
(서로 비교는 안 되지만, 각각 더 큰 원소가 없음) -
최대원소: 없음
(모든 원소보다 크거나 같은 원소가 없음)
🎯 예시 1: 멱집합과 포함 관계
집합 \(B = \{a, b, c\}\) 라면:
\[\mathcal{P}(B) = \{ \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a, b\},\ \{a, c\},\ \{b, c\},\ \{a, b, c\} \}\]총 \(2^3 = 8\)개의 원소가 있음.
🎯 예시 2: 극대원소는 여러 개 존재 가능
집합 \(B = \{a, b\}\) 의 멱집합:
\[\mathcal{P}(B) = \{\emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a, b\} \}\]포함관계로 보면:
- \(\{a\},\ \{b\}\) 는 서로 비교 불가능
- 둘 다 극대원소가 될 수 있음
→ 극대원소는 여러 개 가능
⚠️ 극대 vs 최대
| 개념 | 설명 | 예시 |
|---|---|---|
| 극대원소 (Maximal) | 더 큰 원소가 없음 | \(\{a\},\ \{b\}\) |
| 최대원소 (Maximum) | 모든 원소보다 크거나 같음 | \(\{a, b\}\) |
- 극대원소는 여러 개 있을 수 있지만,
- 최대원소는 있다면 단 하나만 있어!
사슬 (chain)
\[\text{부분 순서 집합 } (P, \leq) \text{ 에서, 모든 원소 쌍이 비교 가능한 부분집합을 } \textbf{사슬 (chain)} \text{이라고 한다.}\]즉, 사슬이란 모든 두 원소 사이에 순서 관계가 존재하는 집합이다.
집합 \(C \subseteq P\)가 다음 조건을 만족하면 사슬이다:
\[\forall x, y \in C,\quad x \leq y \text{ 또는 } y \leq x\][요약]
- 사슬 = 모든 쌍이 비교 가능한 부분집합
- 전체 집합이 사슬이면 전순서 집합 (Total Order)
- 사슬은 정렬된 부분집합이라고 생각하면 쉬움
[관련 용어]
- 반사슬 (antichain): 모든 쌍이 비교 불가능한 집합
- 최대 사슬: 더 이상 원소를 추가하면 사슬이 되지 않는 사슬
- 사슬의 길이: 원소 개수 (혹은 순서상의 단계 수)
🎯 예시 1: 사슬인 경우
- 반사슬 (antichain): 모든 쌍이 비교 불가능한 집합
- 최대 사슬: 더 이상 원소를 추가하면 사슬이 되지 않는 사슬
- 사슬의 길이: 원소 개수 (혹은 순서상의 단계 수)
이때 부분집합:
- \(\{a, b\}\) → 사슬 (a < b)
- \(\{a, b, c\}\) → 사슬 (a < b < c)
→ 모든 쌍이 순서 관계를 가짐 ✅
🎯 예시 2: 사슬이 아닌 경우
부분집합 \(\{b, c\}\)는:
- \(b\)와 \(c\)는 비교 불가능 → 사슬 ❌
부분집합 \(\{a, b\}\) 또는 \(\{a, c\}\)는:
- 둘은 비교 가능 → 사슬 ✅
하우스도르프 극대 원리 (Hausdorff Maximal Principle)
집합족 (family) F에 포함되는 임의의 사슬 C를 가져왔을 때, C의 모든 멤버를 포함하는 F의 멤버가 존재하면, F에는 극대원소가 있다.
\[\text{모든 부분 순서 집합은 극대 사슬을 하나 이상 갖는다.}\]즉,
\[\text{부분 순서 집합 } (P, \leq) \text{ 가 주어지면, 그 안에는 항상 극대 사슬이 존재한다.}\]여기서 극대 사슬 (maximal chain) 이란:
- 사슬(모든 원소 쌍이 비교 가능한 집합)이면서,
- 더 이상 원소를 추가하면 사슬이 되지 않는 집합
🎯 예시: 멱집합과 포함관계
집합 \(A = \{1, 2\}\)의 멱집합:
\[\mathcal{P}(A) = \{\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1, 2\}\}\]포함관계를 순서로 생각한 부분 순서 집합 \((\mathcal{P}(A), \subseteq)\)를 생각하자.
그 안에서 사슬:
- \[\emptyset \subset \{1\} \subset \{1, 2\}\]
이 사슬은 더 이상 포함 가능한 부분집합이 없으므로 극대 사슬이다.
일차 독립인 극대 부분집합 (Maximal Linearly Independent Subset)
어떤 벡터 공간 \(V\) 안의 집합 \(S \subseteq V\) 에 대해,
\(S\)가 다음 조건을 만족하면 일차 독립인 극대 부분집합이라고 해:
- \(S\)는 선형독립이고
- \(V\)에 있는 벡터 중 \(S\)에 하나라도 더 추가하면 선형독립이 깨짐
즉,
\[\forall v \in V \setminus S,\quad S \cup \{v\} \text{ 는 선형독립이 아님}\]이때의 \(S\)는 포함 관계상 극대라는 의미에서
극대 부분집합이 되는 거고,
바로 이런 집합이 기저(basis)가 된다.
[중요 사실]
- ✨ 어떤 벡터공간의 일차 독립인 극대 부분집합 = 기저
- 즉, 기저는 선형독립이면서 극대인 집합이다.
[요약]
- 일차 독립 + 더 추가하면 독립성 깨짐 → 극대
- 극대 선형독립 집합 = 기저
- 모든 선형독립 집합은 기저로 확장 가능하며,
하우스도르프 극대 원리 또는 조르당 졸른 렘마로 그 존재를 보장함
🎯 예시
벡터공간 \(\mathbb{R}^3\)에서 다음 벡터 집합을 생각하자:
\[S = \left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \right\}\]- 이 중 \(\{e_1, e_2, e_3\}\)는 선형독립이고,
- \(\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} = e_1 + e_2 + e_3\) 이므로 선형종속됨
따라서
\[L = \left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \right\}\]은 \(S\) 안에서의 일차 독립인 극대 부분집합이다.