목차
기저 basis
일차종속과 일차독립에서
아래의 조건 일 때, S 는일차독립임을 확인하였다
- S 가 부분공간 W 의 생성집합
- S 의 어떤 진부분집합도 W 를 생성하지 못할 때
[일차독립인 생성집합의 성질]
일차독립인 W의 생성집합 S 에는 아주 특별한 성질이 있다.
- W에 속한 벡터는 반드시 S 의 일차결합으로 표현할 수 있고, 그 표현은 유일하다.
- 이 성질을 이용하면 일차독립인 생성집합은 주어진 벡터공간을 구성하는 가장 기본적인 레고 조각(building blocks)이라할 수 있다.
[기저 basis]
- 그 벡터 공간의 모든 벡터를 선형결합으로 만들 수 있고 (→ 생성 조건)
기저(basis)는 “기초 벡터 세트“라고 볼 수 있음 - 서로 선형독립인 벡터들의 집합을 기저(basis)임
- ✨ 즉, 기저는 “그 공간을 표현하기 위한 가장 작은 독립적인 벡터 집합”임.
- ✨ 마치 좌표축의 방향 벡터라고 생각해도 돼.
📝 기저(Basis) 완전 예시로 이해하기
🧭 1. 기저란 무엇인가요?
기저(basis)는 “기초 벡터 세트“야.
이 세트만 있으면, 그 공간의 어떤 벡터든 만들 수 있어.
마치 레고 블록 몇 개로 모든 구조물을 조립할 수 있는 것처럼!
📐 2. 예시 1: 2차원 평면 \(\mathbb{R}^2\)
2차원 평면에서 우리가 잘 아는 두 벡터가 있어:
\[\vec{e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\]이 벡터들이 의미하는 건?
- \(\vec{e}_1\): x축 방향으로 한 칸
- \(\vec{e}_2\): y축 방향으로 한 칸
💡 이 두 벡터로 뭘 할 수 있냐면:
\[\text{어떤 벡터든 } \vec{v} = a\vec{e}_1 + b\vec{e}_2 \text{ 로 표현할 수 있어}\]예를 들어,
\[\vec{v} = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} = 3 \cdot \vec{e}_1 + 2 \cdot \vec{e}_2\]즉, (3,2) 위치에 있는 점도 이 두 벡터를 적절히 더해서 만들 수 있어!
🔀 3. 꼭 [1, 0], [0, 1]만 기저일까?
전혀 아니야!
다른 예시:
\[\vec{v}_1 = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad \vec{v}_2 = \begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\]이 둘도 \(\mathbb{R}^2\)의 기저가 될 수 있어.
확인 방법:
- 서로 선형독립인가? ⟶ 두 벡터가 일직선에 놓이지 않으면 OK!
- 모든 벡터를 만들 수 있는가? ⟶ 예를 들어
이걸 \(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2\) 꼴로 풀어보면,
\[a\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a - b\\ a + 2b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\]→ 연립방정식을 풀어 해가 존재하면, 이 둘은 기저!
🧱 4. 기저의 의미를 비유로!
- 마치 좌표축의 방향 벡터라고 생각해도 돼.
- 좌표계가 달라도, 기저 벡터만 있으면 그 공간의 모든 벡터를 표현 가능
- 즉, 기저란 공간의 언어
🧮 5. 표준기저 예시: \(F^n\)
벡터공간 \(F^n\) 에 대하여 다음 벡터를 생각하자.
이 벡터들 ( {e_1, e_2, \dots, e_n} ) 은:
-
선형독립
\(a_1 e_1 + a_2 e_2 + \dots + a_n e_n = 0 \Rightarrow \text{모든 } a_i = 0\) -
공간을 생성
\((v_1, v_2, \dots, v_n) = v_1 e_1 + v_2 e_2 + \dots + v_n e_n\)
→ 따라서 표준기저(standard basis) 이다.
✅ 6. 정리
| 조건 | 설명 |
|---|---|
| 선형독립 | 서로 겹치거나 방향이 같으면 안 됨 |
| 생성(span) | 이 벡터들로 공간의 모든 점을 만들 수 있어야 함 |
| 개수 | 공간의 차원과 같아야 함 (예: ( \mathbb{R}^2 ) → 2개 필요) |
[기저 basis]
- 벡터공간 V와 부분집합 β 를 생각하자.
- β 가 일차독립이고 V를 생성하면 V의 기저(basis) 라한다.
- β 가 V의 기저일 때, β 의 벡터는 (V의) 기저를 형성한다.
표준기저 standard basis
[표준기저(Standard Basis)]
- 각 축 방향으로만 1, 나머지는 전부 0인 벡터들로 구성된 기저
표준기저는:
- 축 방향으로만 움직이는 기본 벡터들
- 공간의 기본 좌표계를 구성하는 벡터
- 어떤 벡터든 표준기저의 선형결합으로 표현 가능
📝 표준기저(Basis) 예시로 완전히 이해하기기
🎯 예시 1: 2차원 공간 \(\mathbb{R}^2\)
2차원에서 표준기저는 다음 두 벡터야:
\[e_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\]- $e_1$은 x축 방향
- $e_2$는 y축 방향
이 두 벡터만 있으면, 어떤 2차원 벡터든 만들 수 있어!
예를 들어:
\[\vec{v} = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} = 3 \cdot e_1 + 2 \cdot e_2\]🎯 예시 2: 3차원 공간 #$\mathbb{R}^3$#
3차원 공간의 표준기저는:
\[e_1 = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \quad e_3 = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\]이건 각각:
- $e_1$: x축 방향
- $e_2$: y축 방향
- $e_3$: z축 방향
예를 들어 다음 벡터:
\[\vec{v} = \begin{bmatrix}4\\-1\\2\end{bmatrix}\]은 이렇게 표현할 수 있어:
\[\vec{v} = 4 \cdot e_1 + (-1) \cdot e_2 + 2 \cdot e_3\]📝 표준기저(Basis) book
벡터공간 \(F^n\) 에 대하여 다음 벡터를 생각하자.
집합 \({e_1 , e_2 , . . . , e_n }\)은 \(F^n\) 의 기저이다.
이 특별한 기저를 \(F^n\) 의 표준기저(standard basis) 라 한다.
➕추가➕
집합 \({1, x, x^2 ,. .. , x^n}\) 은 벡터공간 \(P_n(F)\)의 기저이다.
이 특별한 기저를 \(P_n(F)\) 의 표준기저라 한다.
기저의 성질
- 선형독립 (Linear Independence)
- 기저에 있는 벡터들은 서로 겹치지 않아야 해.
- 즉, 하나의 벡터를 나머지 벡터들로 만들 수 없어야 해.
🎯 예시 자세히 보기
이 둘은 서로 독립적이야. 왜냐면:
\[a \cdot e_1 + b \cdot e_2 = \vec{0}\]이 방정식의 해가 오직
\[a = 0, \quad b = 0\]일 때만 가능하거든.
- 생성 (Span)
- 기저로 공간의 모든 벡터를 만들 수 있어야 해.
🎯 예시 자세히 보기
2차원 공간 $\mathbb{R}^2$에서
\[\vec{v} = \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\]은 이렇게 표현할 수 있어:
\[\vec{v} = 3 \cdot e_1 + 2 \cdot e_2\]즉, 기저를 이용해서 어떤 벡터든 표현 가능!
-
- 차원 = 기저 벡터의 개수
- $n$차원 공간이라면, 기저는 항상 $n$개의 벡터로 구성돼.
- 차원 = 기저 벡터의 개수
🎯 예시
- $\mathbb{R}^2$ → 2개의 기저 필요
$e_1$, $e_2$ - $\mathbb{R}^3$ → 3개의 기저 필요
$e_1$, $e_2$, $e_3$
🧠 한 줄 요약
- 기저 = 서로 겹치지 않는 기본 벡터 세트 + 그걸로 모든 벡터를 만들 수 있는 구성
📜 성질 detail 보기
-
성질 1
span(∅) = {0}이고, ∅은 일차독립이다.
즉, ∅은 점공간의 기저이다.
➕ 관련정리
공집합은 일차독립이다. 어떤 집합이 일차종속이기 위해선 반드시 공집합이 아니어야 한다. -
성질 2
행렬 \(E^{ij} ∈ M_{m×n}(F)\)는
\(i\) 행 \(j\) 열 성분만 1 이고, 나머지 성분은 0 인 행렬이다.
집합 \(\lbrace E^{ij} : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n\rbrace\)은 \(M_{m×n}(F)\)의 기저이다. -
성질3
집합 \({1, x, x^2 , . . .}\)은 \(P(F)\)의 기저이다.
.
즉 성질 3에 따르면 기저는 유한집합이 아닐 수도 있다
포스트의 의 후반부에서는 \(P(F)\) 의 어떤 기저도 유한집합일 수 없음을 보일 것이다.
기저가 유한집합이 아닌 벡터공간도 존재한다.
- ✨ 성질4 ✨
기저의 제일 중요한 성질
벡터공간 V와 이 공간에 속한 서로 다른 n개의 벡터 \(u_1 , u_2 , . . . , u_n\)을 생각하자.
집합 \(β = {u_1 , u_2 , . . . , u_n}\) 가 V 의 기저가 되기 위한 필요충분조건은,
‘임의의 벡터 v ∈ V 를 β 에속한 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있고, 그 표현은 유일하다’ 는 것이다.
즉, 유일한 스칼라 \(a_1 , a_2 , . . . , a_n\) 에 대하여 벡터 v 는 다음과 같다.
📜 성질 4 증명 보기
V 의 기저를 β 라 하자.
벡터 \(v ∈ V\) 에 대하여 \(span(β) = V\) 이므로 \(v ∈ span(β)\) 이다.
이제 v의 β 에 대한 일차결합 표현을 두 가지로 표현할 수 있다고 가정하자.
첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 다음과 같다.
β 가 일차독립이므로 아래와 같다.
위 식은 아래 식을 유도 할 수 있다.
따라서 β 에 대한 v 의 일차결합 표현은 유일하다.
즉, 성질 4에 의하면 \(u_1 , u_2 , . . . , u_n\)이 V의 기저를 형성할 때
V의 모든 벡터는 적절히 스칼라 \(a_1 , a_2 , .. . ,a_n\) 을 가져와 다음과 같이 유일한 일차결합 형태로 표현할 수 있다.
즉, v 가 주어지면 스칼라 n순서쌍 \((a_1 , a_2 , . . . , a_n)\)이 결정된다.
➡ 반대로, 스칼라 n순서쌍이 주어지면각 성분을 \(u_1 , u_2 , . . . , u_n\)의 일차결합의 계수로 가지는 유일한 벡터 v 도 유도가능하다.
그렇다면
벡터공간 V 는 벡터공간 \(F^n\) 과 별반 다를 바 없어 보인다.
이때, n 은 V 의 기저를 형성하는 벡터의 개수이다.
즉, 두 벡터공간이 본질적으로 같음을 확인할 것이다.
- 성질5
유한집합 S 가 벡터공간 V를 생성하면,
S 의 부분집합 중 V의 기저가 존재한다.
성질 5를 이용한 기존 벡터 축소하여 기저 얻기
📜 성질 5 응용: 기저찾기
집합 \(S = {(2, −3, 5), (8, −12, 20), (1, 0, −2), (0, 2, −1), (7, 2, 0)}\)은 \(R^3\) 의 생성집합이다.
성질5 에서 살핀 방법으로 S를 축소하여 \(R^3\)의 기저를 얻자.
1️⃣ 눈에 보이는 일차종속 걸러내기
S 에서 영이 아닌 벡터를 아무것이나 선택한다.
지금은 (2, −3, 5) 를 선택하자.
4(2, −3, 5) = (8, −12, 20) 이므로 {(2, −3, 5), (8, −12, 20)}은 일차종속이다
➡ (8, −12, 20) 은 기저에서 제외한다.
2️⃣ 눈에 보이는 일차독립 찾아내기
반면, (2, −3, 5) 와 (1, 0, −2) 는 서로의 스칼라 곱이 아니므로 {(2, −3, 5), (1, 0, −2)}는 일차독립이다.
➡ (1, 0, −2)는 기저에 포함한다.
기저에 이미 포함한 두 개의 벡터와 S 의 벡터 하나를 더하여
{(2, −3, 5), (1, 0, −2), (0, 2, −1)} 을생각해 보자.
간단한 계산을 통해 이 집합이 일차독립임을 확인할 수 있다.
➡ 즉, (0, 2, −1)은 기저에 포함한다.
3️⃣ 눈에 보이지 않는 벡터 처리하기
비슷한 방식으로 S 의 마지막 벡터가 기저에 포함될지 여부는
집합 {(2, −3, 5), (1, 0, −2), (0, 2, −1), (7, 2, 0)}이 일차독립인지 일차종속인지에 따라 결정된다.
위의 등식이 성립하므로 (7, 2, 0) 은 기저에서 제외한다.
4️⃣ 결과
최종적으로 집합 {(2, −3, 5), (1, 0, −2), (0, 2, −1)}은 S 의 진부분집합이며 \(R^3\) 의 기저이다.
대체정리 replacement theorem
[대체 정리]
- 기저를 구성하는 벡터를 다른 벡터로 ‘대체’할 수 있다는 정리야.
- 어떤 벡터공간 \(V\)의 기저가 \(n\)개의 벡터로 이루어져 있고,
그 공간 안에 있는 선형독립한 \(m\)개의 벡터 집합 \(S\)가 있다면:
그리고 이 \(S\)의 벡터들을 기저 벡터들 일부와 교체하여
다시 기저를 만들 수 있다.
[Point]
- 선형독립한 벡터들은 기존 기저의 일부와 교체 가능
- 단, 교체할 벡터 수는 기저 벡터 수보다 많을 수 없음
- 기저는 바꾸더라도 항상 같은 수의 벡터로 유지됨
🎯 예시로 쉽게 보기: $$\mathbb{R}^2$$
\(\mathbb{R}^2\)의 표준기저:
\[e_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\]지금 선형독립인 새로운 벡터 하나가 있다고 하자:
\[v = \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\]- 이 벡터는 \(e_1\), \(e_2\)의 선형결합으로 표현 가능하니까 공간 안에 있음
- 그리고 \(v\)는 \(e_1\) 또는 \(e_2\)와 선형독립
그러므로, \(e_1\) 또는 \(e_2\) 중 하나를 \(v\)로 교체해도 기저가 됨!
예:
\[\{v, e_1\} \text{ or } \{v, e_2\} \text{ 모두 } \mathbb{R}^2 \text{의 기저}\]📜 book
n 개의 벡터로 이루어진 집합 G 가 벡터공간 V 를 생성한다고 하자.
L 이 m 개의 일차독립인 벡터로 이루어진 V 의 부분집합이면, m ≤ n 이다.
또한 다음 조건을 만족하는 집합 H ⊆ G 가존재한다.
- H 는 n − m개의 벡터로 이루어졌으며,
- L ∪ H 는 V를 생성한다.
따름정리 1
벡터공간 V 가 유한집합인 기저를 포함한다고 가정하자.
V 의 모든 기저는 유한집합이며, 같은 개수의 벡터로 이루어져 있다.
➡ V의 기저를 형성 하는 벡터의 개수는 벡터공간 V의 본질적인 성질임을 알 수 있다
📜 따름정리 증명
아래와 같이 가정해보자.
- 벡터공간 V 가 유한집합인 기저를 포함
- V 의 모든 기저는 유한집합
- β: n 개의 벡터로 이루어진 V 의 기저
- γ: V 의 또 다른 기저
γ 가 n 개를 초과 하는 벡터로 이루어져 있으면
n + 1 개의 벡터로 이루어진 γ 의 부분집합 S 를 생각할 수 있다.
S 는 일차독립이고 β 는 V를 생성하므로
대체정리에 의해 n + 1 ≤ n이 성립해야 한다.
➡ 이는 모순이다.
즉, γ 가 m 개의 벡터로 이루어진 유한집합이면 m ≤ n 이다.
β 와 γ 를 바꾸어 똑같은 논리를 반복하면 n ≤ m을 얻는다.
따라서 n = m이다.
차원
위의 따름 정리로 아래의 차원 개념들을 정리할 수 있다.
[유한차원 (finite dimension)]
- 기저가 유한집합인 벡터공간
[차원 (dimension)]
- V 의 기저가 n 개의 벡터로 이루어질 때, 유일한 자연수 n 은 주어진 벡터공간의 차원이다
- 이는 dim(V)라 표기한다.
[무한차원 (infinite dimension)]
- 유한차원이 아닌 벡터공간
즉, 지금까지 배운 벡터공간의 차원을 정리해보면,
- 벡터공간 {0}의 차원은 0이다.
- 벡터공간 \(F^n\) 의 차원은 n이다.
- 벡터공간 \(M_{m×n}(F)\)의 차원은 \(mn\)이다
- 벡터공간 \(P_n(F)\)의 차원은 n + 1이다.
따름정리 2
V를 차원이 n인 벡터공간이라 하자.
- V의 유한 생성집합에는 반드시 n개 이상의 벡터가 있다.
또한 n개의 벡터로 이루어진 (V의) 생성집합은 (V의) 기저이다. - 일차독립이고 n개의 벡터로 이루어진 (V의) 부분집합은 V의 기저이다.
- 일차독립인 (V의) 부분집합을 확장시켜 기저를 만들 수 있다.
다시 말해 L(⊆ V)이 일차독립 이면 L ⊆ β 인 V의 기저 β 가 존재한다.
기저와 연관 개념
지금까지 배운 개념을 정리해보겠다.
- 벡터공간 V의 부분집합이 기저이기 위해서는 V를 생성하고 일차독립이어야 한다.
- V의 어떤 기저가 유한집합이면, V 의 모든 기저는 이 집합과 같은 개수의 벡터를 포함한다.
이 자연수 (개수) 는 V 의 차원이고 V 는 유한차원 벡터공간이다. - 벡터공간 V 의 차원이 n 이면, V 의 모든 기저는 반드시 n 개의 벡터로 이루어져 있다.
- 더 나아가 V의 일차독립인 부분집합은 n개를 초과하는 벡터를 가질 수 없으며,
적절히 몇 개의 벡터를 추가하여 기저로 확장할 수 있다. - V 의 모든 생성집합은 적어도 n 개 이상의 벡터를 가지며 몇 개 벡터를 적절히 제외하면 V의 기저로 축소할 수 있다.
즉
의 관계가 성립한다.
부분공간의 차원
다음 정리는 부분공간의 차원과 본래 공간의 차원 사이의 관계를 다룬다.
- 정리
유한차원 벡터공간 V 에 대하여 부분공간 W 는 유한차원이고,
dim(W) ≤ dim(V) 이다.
특히 dim(W) = dim(V)이면 V = W이다.
[예제 1]
다음과 같이 주어진 벡터공간 W는 F 5 의 부분공간이다.
이 때 w의 기저를 구해라.
📜 답 보기
W의 기저는 {(−1, 0, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0)}이므로 W의 차원은 3이다.
[예제 2]
n × n 대각행렬의 집합 W 는 \(M_{n×n}(F)\) 의 부분공간이다
이 때 W의 차원은?
📜 답 보기
W 의 기저는 \({E^{11} ,E^{22} ,. .. , E^{nn}}\)
(단, E ij 는 i행 j 열 성분만 1이고, 나머지 성분은 모두 0인 행렬)
이므로 W 의 차원은 n이다.
라그랑주 보간법
[📌 라그랑주 보간법이란?]
\[\text{몇 개의 점 } (x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n) \text{ 을 지나는 다항식을 찾는 방법이다.}\]- 모든 점을 정확히 지나는 다항식을 구함
- \(n+1\)개의 점이 주어졌다면, \(n\)차 다항식이 된다
[✅ 기본 공식]
\[P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x)\]여기서 각 \(L_i(x)\) 는 i번째 보간 다항식:
\[L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \ne i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\][🧠 요약]
- 라그랑주 보간법은 데이터 포인트들을 모두 지나는 다항식을 구하는 공식
- \(n+1\)개의 점 → \(n\)차 다항식
- 다항식은 \(P(x) = \sum y_i \cdot L_i(x)\) 형태
🎯 예시: 세 점을 지나는 2차 다항식
다음 3개의 점을 지나는 다항식을 구해보자.
\[(1, 2),\quad (2, 3),\quad (4, 1)\] \[(x_0, y_0) = (1, 2), \quad (x_1, y_1) = (2, 3), \quad (x_2, y_2) = (4, 1)\]Step 1: 각 보간 다항식 구하기
\(L_0(x)\):
\[L_0(x) = \frac{(x - 2)(x - 4)}{(1 - 2)(1 - 4)} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{(-1)(-3)} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{3}\]\(L_1(x)\):
\[L_1(x) = \frac{(x - 1)(x - 4)}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{(x - 1)(x - 4)}{1 \cdot (-2)} = -\frac{(x - 1)(x - 4)}{2}\]\(L_2(x)\):
\[L_2(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(4 - 1)(4 - 2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{3 \cdot 2} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{6}\]Step 2: \(P(x)\) 계산
\[P(x) = 2 \cdot L_0(x) + 3 \cdot L_1(x) + 1 \cdot L_2(x)\] \[P(x) = 2 \cdot \frac{(x - 2)(x - 4)}{3} - 3 \cdot \frac{(x - 1)(x - 4)}{2} + \frac{(x - 1)(x - 2)}{6}\]✅ 결과
이렇게 구한 \(P(x)\)는 세 점 \((1,2), (2,3), (4,1)\)을 모두 지나는 2차 다항식이다.
📜 book
지금까지 배운 내용은 실험이나 표본에서 수집한 데이터를 가공하는 과정에 응용할 수 있다.
예를 들어,
뉴욕에서 런던까지 가는 비행기의 몇 개의 특정한 시간과 위치를 대응한 데이터가 있다고 하자.
나머지 시간에 비행기가 어느 위치에 있는지 추정하려 한다.
이미 알고 있는 값을 바탕으로 그 사이의 값을 추정하는 방법을 보간법 또는 내삽법(interpolation) 이라 한다.
대체정리의 따름정리 2: 데이터를 다항함수로 근사하는 유용한 공식을 얻는 데 사용
라그랑주 다항식 Lagrange polynomial
\(c_0 , c_1 , . . . , c_n\)이 무한체 F 에서 꺼낸 스칼라일 때,
다음과 같이 정의한 다항식
\(f_0(x), f_1(x), . . . , f_n(x)\)를
\(c_0 , c_1 , . . . , c_n\) 에 대한 라그랑주 다항식 (Lagrange polynomial) 이라 한다.
각 다항식 \(f_i(x)\)는,
- 차수가 n인 다항식
- \(P_n(F)\)의 원소
이제 다항함수 \(f_i : F → F\)에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[f_i (c_j ) = \begin{cases} 0 & \text{if i $\neq$ j}\\ 0 & \text{if i = j} \end{cases}\]라그랑주 다항식의 성질은 집합 β = {f_0 , f_1 , . . . , f_n }이 P n (F )의 일차독립인 부분집합임을 보이는데 사용된다. 다음 함수가 영함수라 가정하자.
\[\displaystyle\sum_{i=0}^{n} a_if_i = 0\](단, a 0 , a 1 , . . . , a n 은 스칼라)