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[14] Vector Spaces: 일차결합과 연립일차방정식

09 Dec 2019

Reading time ~9 minutes

Table of Contents
  • 목차
  • 일차 결합 linear combination
    • 계수 coefficient
    • 연립방정식 풀이법
    • 일차결합 증명
  • 생성공간 span
    • 생성공간의 증명
      • 증명 1
    • 평면에 적용

목차

  • 일차 결합 linear combination
    • 계수 coefficient

    • 연립방정식 풀이법
    • 일차결합 증명
  • 생성공간 span
    • 생성공간의 증명
      • 증명 1
    • 평면에 적용


일차 결합 linear combination

조건이 아래와 같을 때,

  • V: 벡터공간이고
  • S: V의 공집합이 아닌 부분집합

유한개의 벡터 \(u_1 , u_2 , . . . , u_n ∈ S\)와
스칼라 \(a_1 , a_2, . . . , a_n\)에 대하여,

$$v = a_1u_1 + a_2u_2 + ··· + a_nu_n$$

위 식을 만족하는 벡터 \(v ∈ V\)는 S의 일차결합이라고 한다.

👀 선형대수에서의 선형결합

📘 선형대수에서의 선형결합 (일차결합)

어떤 벡터들이 있을 때, 그 벡터들에 스칼라(숫자)를 곱하고 더한 것을 선형결합이라고 해요.

📌 정의:

벡터 \(u_1, u_2, \dots, u_n \in S\) 에 대해,
스칼라 \(a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{R}\) 이 존재할 때,

\[a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n\]

이 표현을 선형결합 (linear combination)이라고 해요.
즉, 벡터들을 스칼라 배로 만들어서 더한 거죠.


🧠 예시:

벡터 \(u_1 = [1, 0], \quad u_2 = [0, 1]\) 가 있을 때,

\[3u_1 + 2u_2 = 3[1, 0] + 2[0, 1] = [3, 2]\]

→ 벡터 \([3, 2]\)는 \(u_1, u_2\)의 선형결합이에요.


🌟 관련 개념

용어 설명
선형결합 벡터들을 스칼라 곱해서 더한 것
선형독립 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형결합으로 표현되지 않음
기저 (Basis) 선형독립이며 전체 공간을 생성하는 벡터 집합
스팬 (Span) 벡터들의 모든 선형결합으로 만들어지는 공간

계수 coefficient

위의 일차결합에서, v는 벡터 \(u_1 , u_2 , . . . , u_n\)의 일차결합이고,
\(a_1 , a_2, . . . , a_n\)은 이 일차결합의 계수이다.

➕ 영벡터 ➕
모든 벡터공간 \(V\)와 모든 벡터 \(v ∈ V\)에 대하여,
\(0v = 0\)이다.
즉, 영벡터는 공집합이 아닌 모든 부분집합의 일차결합이다.

예시 1

그럼 예를 들어 위의 개념들을 이해해보겠다.

아래의 표는 물질들에 포함된 (100kg 기준) 성분 X, Y, Z, W, U 의 양을 나타냈다.

(g) 성분 X 성분 Y 성분 Z 성분 W 성분 U
물질 A 0 1 2 20 2
물질 B 9000 3 2 10 4
물질 C 0 2 7 10 0
물질 D 10000 10 18 130 10
물질 E 0 5 6 30 0
물질 F 0 1 1 10 0
물질 G 1000 1 3 10 2
물질 H 0 2 2 40 0
물질 I 0 34 5 470 0
물질 J 0 2 25 40 0
물질 K 0 1 1 30 0
물질 L 0 45 63 620 0

[각 물질의 100kg에 포함된 성분의 양]

  • \[열벡터 ∈ R^5\]
\[\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 20 \\ 2 \end{pmatrix}\]

[물질 E, H, I, J, L에 포함된 성분의 양을 벡터식으로 나타내기]

  • 즉, \(E + H + I + 2J = L\) 는 아래와 같이 표현가능하다.
\[\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 6 \\ 30 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \\ 40 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 34 \\ 5 \\ 470 \\ 0 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 25 \\ 40 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 45 \\ 63 \\ 620 \\ 0 \end{pmatrix}\]

[일차결합]
여기서 물질 L은 물질 E, H, I, J의 일차결합이다.
즉, 각 물질 E, H, I 의 100 kg + 물질 I 의 200 kg 의 성분들은 물질 J 의 100 kg 안의 성분들과 정확이 같은 양의 성분을 언들 수 있다는 것이다.


예시 2

그럼 또 다른 예를 들어보자

벡터 (2, 6, 8)은 아래 5개의 벡터의 일차결합으로 표현가능하다.

\(u_1 = (1, 2, 1)\)
\(u_2 = (−2, −4, −2)\)
\(u_3 = (0, 2, 3)\)
\(u_4 = (2, 0, −3)\)
\(u_5 = (−3, 8, 16)\)

여기서 다음 식을 만족하는 스칼라 \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\)를 찾아보자

\((2, 6, 8) = a_1u_1 + a_2u_2 + a_3u_3 + a_4u_4 + a_5u_5\)

$$= a_1(1, 2, 1) + a_2(−2, −4, −2) + a_3(0, 2, 3) + a_4(2, 0, −3) + a_5(−3, 8, 16)$$
$$= (a_1 − 2a_2 + 2a_4 − 3a_5 , 2a_1 − 4a_2 + 2a_3 + 8a_5 , a_1 − 2a_2 + 3a_3 − 3a_4 + 16a_5 )$$

✨ (2, 6, 8)이 \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\)의 일차결합으로 표현되기위한 필요충분조건 ✨
다음 연립방정식을 만족하는 5순서쌍 \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)\)이 존재하는 것이다.

$$a_1 − 2a_2 + 0a_3 + 2a_4 − 3a_5 = 2$$
$$2a_1 − 4a_2 + 2a_3 + 0a_4 + 8a_5 = 6$$
$$a_1 − 2a_2 + 3a_3 − 3a_4 + 16a_5 = 8$$

1️⃣ 위 식을 간단히 표현해보자
(일부 미지수를 다른 미지수에 대한 식으로 표현)
2행에 1행의 -2배를 더하고,
3행에 1행의 -1배를 더한다.
➡ \(a_1\)을 소거하는 과저에서 \(a_2\)도 없어짐

$$a_1− 2a_2 + 2a_4 − 3a_5 = 2$$
$$2a_3 − 4a_4 + 14a_5 = 2$$
$$3a_3 − 5a_4 + 19a_5 = 6$$

2️⃣ 2행의 \(a_3\)에 붙은 계수를 1로 바꿈
2행에 \(1/2\)를 곱함

$$a_1 − 2a_2 + 2a_4 − 3a_5 = 2$$
$$a_3 − 2a_4 + 7a_5 = 1$$
$$3a_3 − 5a_4 + 19a_5 = 6$$

3️⃣ 3행의 \(a_4\)에 붙은 계수를 1로 바꿈
3행에 2행의 -3배를 더한다.

$$a_1 − 2a_2 + 2a_4 − 3a_5 = 2$$
$$a_3 − 2a_4 + 7a_5 = 1$$
$$a_4 − 2a_5 = 3$$

4️⃣ \(a_4\)는 3행에만 나타나게 한다.
3행의 \(a_4\) = \(2a_5 - 3\) 을 대입하여 나머지 행의 \(a_4\)를 소거한다

$$a_1 − 2a_2 + a_5 = −4$$
$$a_3 + 3a_5 = 7$$
$$a_4 − 2a_5 = 3$$

아래와 같이 위 방정식은 각 방정식에서 첫번째로 등장하는 미지수 \(a_1, a_3, a_4\)를 다른 미지수 \(a_2, a_5\)에 대해 풀 수 있으므로, 위 연립방정식은 바람직한 형태이다.

5️⃣ 해
그럼 이제 \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)\)를 \(a_2, a_5\)의 형태로 표현가능하다.
즉, 아래 식은 위의 해이다.

$$(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) = (2a_2−a_5−4, a_2 , −3a_5+7, 2a_5+3, a_5)$$

또한 \(a_2 = 0, a_5 = 0\)을 대입해서 얻은 벡터 (−4, 0, 7, 3, 0)도 위 연립방정식의 해이다.

따라서 벡터 (2, 6, 8)은 다음과 같이 \(u_1, u_2, u_3, u_4, u_5\)의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

$$(2, 6, 8) = −4u_1 + 0u_2 + 7u_3 + 3u_4 + 0u_5$$

연립방정식 풀이법

즉 위의 예시로 봤을 때 예시 2와 같이 연립방정식을 간단히하는 관정은 아래의 세 종류의 연산을 반복하는 것으로 이해할 수 있다.

1️⃣ 두 방정식의 위치를 바꾼다.
2️⃣ 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
3️⃣ 상수배하여 얻은 방정식을 다른 방정식에 더한다.

이러한 과정을 반족하는 이유는,
연립일차방정식이 다음 성질을 갖게 하기 위해서이다.

  • 성질 1
    각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다.
  • 성질 2
    어떤 미지수가 어떤 방정식에서 처음으로 등장하면(계수가 처음으로 0이 아니면), 그 외의 다른 행에서는 등장하지 않는다.
    즉, 다른 행에서 그 미지수에 붙은 계수는 0이다.
  • 성질 3
    처음 등장하는 미지수(계수가 처음으로 0이 아닌 미지수)의 첨자는 다음 행으로 내려갈 때마다 반드시 증가한다.

➕ 해가 없는 연립 방정식 ➕
위의 3가지 연산을 수행하가다 0 = c (c는 0이 아닌 스칼라)가 나온다면,
주어진 연립방정식은 해가 없음을 뜻한다.


일차결합 증명

아래와 같은 두 식이 있다고 하자.
\(x^3 − 2x^2 − 5x − 3\),
\(3x^3 − 5x^2 − 4x − 9 ∈ P_3(R)\)

이 식에 대해
\(2x^3 − 2x^2 + 12x − 6\)은 두 다항식의 일차결합이지만,
\(3x^3− 2x^2 + 7x + 8\)은 일차결합이 아님을 증명해라.

➡ 이 증명은 두 식에 적절한 스칼라 값을 곱해서 해당 식이 나오는 지를 보면된다.

[일차결합임을 보이기]
다음 식을 만족하는 스탈라 a, b가 존재함을 보이면 된다
\(2x^3 − 2x^2 + 12x − 6\) = a(\(x^3 − 2x^2 − 5x − 3\)) + b(\(3x^3 − 5x^2 − 4x − 9\))
\(= (a + 3b)x^3 + (−2a − 5b)x^2 + (−5a − 4b)x + (−3a − 9b)\)

이는 다음 연립방정식을 푸는 것과 같다.

\(a + 3b = 2\)
\(−2a − 5b = −2\)
\(−5a − 4b = 12\)
\(−3a − 9b = −6\)

a를 소거하기 위해 1행에 적절한 수를 곱하고 다른 행에 더하면 다음 방정식을 얻는다.

\(a + 3b = 2\)
\(b = 2\)
\(11b = 22\)
\(0b = 0\)

다시 2행에 적절한 수를 곱하고 나머지 행에 더하여 다음 방정식을 얻는다.

\(a = −4\)
\(b = 2\)
\(0 = 0\)
\(0 = 0\)

즉, 해는 아래와 같다.
\(2x^3 − 2x^2 + 12x − 6\) = -4(\(x^3 − 2x^2 − 5x − 3\)) + 2(\(3x^3 − 5x^2 − 4x − 9\))

➡ 즉 적절한 스칼라 값이 있으므로 일차결합이다.

[일차 결합이 아님을 보이기]
다음 식을 만족하는 a, b가 존재하지 않음을 보이면 된다.
\(3x^3− 2x^2 + 7x + 8\) = a(\(x^3 − 2x^2 − 5x − 3\)) + b(\(3x^3 − 5x^2 − 4x − 9\))

이는 다음 연립방정식을 푸는 것과 같다.

\(a + 3b = 3\)
\(−2a − 5b = −2\)
\(−5a − 4b = 7\)
\(−3a − 9b = 8\)

a를 소거하면 다음 연립방정식을 얻는다.

\(a + 3b = 3\)
\(b = 4\)
\(11b = 22\)
\(0 = 17\)

이때 \(0 = 17\)은 모순이므로 위 연립방정식의 해는 존재하지 않는다.

➡ 즉 이는 일차결합이 아니다.



생성공간 span

[정의]

  • S: 벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합
  • S의 생성공간(span): S의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 \(span(S)\)라 표기한다.
  • 즉, 벡터로 이루어진 어떤 집합의 일차결합을 원소로 하는 집합
  • 편의를 위해 \(span(∅) = {0}\)라고 정의한다.

예를 들어,
\(R^3\)에서 집합 \({(1, 0, 0), (0, 1, 0)}\)의 생성공간은

$$a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) = (a, b, 0)$$

형태의 벡터로 이루어진 집합이다.
단, a, b는 스칼라

\({(1, 0, 0), (0, 1, 0)}\)의 생성공간은 xy 평면이고
\(R^3\)의 부분공간이다.

그러므로,
아래 두개의 2차원 벡터로 span하게 되면 모든 2차원 벡터(x,y)를 만들 수 있다.

\[v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

즉,

  • 벡터공간 V의 임의의 부분집합 S의 생성공간은 S를 포함하는 V의 부분공간이다.
  • S를 포함하는 V의 부분공간은 반드시 S의 생성공간을 포함한다.

정의

  • 벡터 공간 V의 부분집합 S 에 대하여 \(span(S) = V\)이면,
    S는 V를 생성한다(generate or span).
  • 이 경우 S의 벡터가 V를 생성한다고 말항 수 있다.

생성공간의 증명

S의 생성공간(span)은 S의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 \(span(S)\)라 표기한다.
이므로,
✨ 이 생성공간의 증명도 일차결합과 같이 하면 된다. ✨

증명 1

세 벡터 (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)은 \(R^3\)을 생성한다.
다시말해, \(R^3\)의 임의의 벡터 \((a_1, a_2, a_3)\)은 이 세 벡터의 일차결합임을 증명하라

📜 증명 보기

이를 증명하기 위해서는 다음 조건을 만족하는 스칼라 r, s, t를 찾으면 충분하다.
\(r(1, 1, 0) + s(1, 0, 1) + t(0, 1, 1) = (a_1 , a_2 , a_3 )\)

\(r + s = a_1\)
\(r + t = a_2\)
\(s + t = a_3\)

이므로 정리 공식에 의해 정리하면

\(r = a_1 - s\)
\(t = a_2 - a_1 + s\)
\(s = a_3 - a_2 + a_1 - s\)

여기서 3행을 정리하면

\(s = a_3 - a_2 + a_1 - s\)
\(2s = a_3 - a_2 + a_1\)
\(s = 1/2(a_3 - a_2 + a_1)\)

그리고 정리한 것을 1,2 행에 대입하면

\(r = 1/2(a_1 + a_2 − a_3)\)
\(s = 1/2(a_1 − a_2 + a_3)\)
\(t = 1/2(-a_1 + a_2 + a_3)\)

이다.

즉 각 값을 만족하는 r, s, t를 정의할 수 있으므로 이는 일차결합이다.


평면에 적용

이전의 포스트에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 중 한 점이 원점일 때,
평면의 방정식이,

x = su + tv

  • u, v ∈ R^3
  • s, t는 스칼라

임을 설명하였다.

x ∈ R^3이 u, v ∈ R^3의 일차결합이기위한 필요충분조건은
x가 u와 v를 포함하는 편면에 포함되는 것이다.

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