목차
일차 결합 linear combination
조건이 아래와 같을 때,
- V: 벡터공간이고
- S: V의 공집합이 아닌 부분집합
유한개의 벡터 \(u_1 , u_2 , . . . , u_n ∈ S\)와
스칼라 \(a_1 , a_2, . . . , a_n\)에 대하여,
위 식을 만족하는 벡터 \(v ∈ V\)는 S의 일차결합이라고 한다.
👀 선형대수에서의 선형결합
📘 선형대수에서의 선형결합 (일차결합)
어떤 벡터들이 있을 때, 그 벡터들에 스칼라(숫자)를 곱하고 더한 것을 선형결합이라고 해요.
📌 정의:
벡터 \(u_1, u_2, \dots, u_n \in S\) 에 대해,
스칼라 \(a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{R}\) 이 존재할 때,
이 표현을 선형결합 (linear combination)이라고 해요.
즉, 벡터들을 스칼라 배로 만들어서 더한 거죠.
🧠 예시:
벡터 \(u_1 = [1, 0], \quad u_2 = [0, 1]\) 가 있을 때,
\[3u_1 + 2u_2 = 3[1, 0] + 2[0, 1] = [3, 2]\]→ 벡터 \([3, 2]\)는 \(u_1, u_2\)의 선형결합이에요.
🌟 관련 개념
| 용어 | 설명 |
|---|---|
| 선형결합 | 벡터들을 스칼라 곱해서 더한 것 |
| 선형독립 | 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형결합으로 표현되지 않음 |
| 기저 (Basis) | 선형독립이며 전체 공간을 생성하는 벡터 집합 |
| 스팬 (Span) | 벡터들의 모든 선형결합으로 만들어지는 공간 |
계수 coefficient
위의 일차결합에서, v는 벡터 \(u_1 , u_2 , . . . , u_n\)의 일차결합이고,
\(a_1 , a_2, . . . , a_n\)은 이 일차결합의 계수이다.
➕ 영벡터 ➕
모든 벡터공간 \(V\)와 모든 벡터 \(v ∈ V\)에 대하여,
\(0v = 0\)이다.
즉, 영벡터는 공집합이 아닌 모든 부분집합의 일차결합이다.
예시 1
그럼 예를 들어 위의 개념들을 이해해보겠다.
아래의 표는 물질들에 포함된 (100kg 기준) 성분 X, Y, Z, W, U 의 양을 나타냈다.
| (g) | 성분 X | 성분 Y | 성분 Z | 성분 W | 성분 U |
|---|---|---|---|---|---|
| 물질 A | 0 | 1 | 2 | 20 | 2 |
| 물질 B | 9000 | 3 | 2 | 10 | 4 |
| 물질 C | 0 | 2 | 7 | 10 | 0 |
| 물질 D | 10000 | 10 | 18 | 130 | 10 |
| 물질 E | 0 | 5 | 6 | 30 | 0 |
| 물질 F | 0 | 1 | 1 | 10 | 0 |
| 물질 G | 1000 | 1 | 3 | 10 | 2 |
| 물질 H | 0 | 2 | 2 | 40 | 0 |
| 물질 I | 0 | 34 | 5 | 470 | 0 |
| 물질 J | 0 | 2 | 25 | 40 | 0 |
| 물질 K | 0 | 1 | 1 | 30 | 0 |
| 물질 L | 0 | 45 | 63 | 620 | 0 |
[각 물질의 100kg에 포함된 성분의 양]
- \[열벡터 ∈ R^5\]
[물질 E, H, I, J, L에 포함된 성분의 양을 벡터식으로 나타내기]
- 즉, \(E + H + I + 2J = L\) 는 아래와 같이 표현가능하다.
[일차결합]
여기서 물질 L은 물질 E, H, I, J의 일차결합이다.
즉, 각 물질 E, H, I 의 100 kg + 물질 I 의 200 kg 의 성분들은 물질 J 의 100 kg 안의 성분들과 정확이 같은 양의 성분을 언들 수 있다는 것이다.
예시 2
그럼 또 다른 예를 들어보자
벡터 (2, 6, 8)은 아래 5개의 벡터의 일차결합으로 표현가능하다.
\(u_1 = (1, 2, 1)\)
\(u_2 = (−2, −4, −2)\)
\(u_3 = (0, 2, 3)\)
\(u_4 = (2, 0, −3)\)
\(u_5 = (−3, 8, 16)\)
여기서 다음 식을 만족하는 스칼라 \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\)를 찾아보자
\((2, 6, 8) = a_1u_1 + a_2u_2 + a_3u_3 + a_4u_4 + a_5u_5\)
✨ (2, 6, 8)이 \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\)의 일차결합으로 표현되기위한 필요충분조건 ✨
다음 연립방정식을 만족하는 5순서쌍 \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)\)이 존재하는 것이다.
1️⃣ 위 식을 간단히 표현해보자
(일부 미지수를 다른 미지수에 대한 식으로 표현)
2행에 1행의 -2배를 더하고,
3행에 1행의 -1배를 더한다.
➡ \(a_1\)을 소거하는 과저에서 \(a_2\)도 없어짐
2️⃣ 2행의 \(a_3\)에 붙은 계수를 1로 바꿈
2행에 \(1/2\)를 곱함
3️⃣ 3행의 \(a_4\)에 붙은 계수를 1로 바꿈
3행에 2행의 -3배를 더한다.
4️⃣ \(a_4\)는 3행에만 나타나게 한다.
3행의 \(a_4\) = \(2a_5 - 3\) 을 대입하여 나머지 행의 \(a_4\)를 소거한다
아래와 같이 위 방정식은 각 방정식에서 첫번째로 등장하는 미지수 \(a_1, a_3, a_4\)를 다른 미지수 \(a_2, a_5\)에 대해 풀 수 있으므로, 위 연립방정식은 바람직한 형태이다.
5️⃣ 해
그럼 이제 \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)\)를 \(a_2, a_5\)의 형태로 표현가능하다.
즉, 아래 식은 위의 해이다.
또한 \(a_2 = 0, a_5 = 0\)을 대입해서 얻은 벡터 (−4, 0, 7, 3, 0)도 위 연립방정식의 해이다.
따라서 벡터 (2, 6, 8)은 다음과 같이 \(u_1, u_2, u_3, u_4, u_5\)의 일차결합으로 나타낼 수 있다.
연립방정식 풀이법
즉 위의 예시로 봤을 때 예시 2와 같이 연립방정식을 간단히하는 관정은 아래의 세 종류의 연산을 반복하는 것으로 이해할 수 있다.
1️⃣ 두 방정식의 위치를 바꾼다.
2️⃣ 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
3️⃣ 상수배하여 얻은 방정식을 다른 방정식에 더한다.
이러한 과정을 반족하는 이유는,
연립일차방정식이 다음 성질을 갖게 하기 위해서이다.
- 성질 1
각 방정식에서 처음으로 등장하는 0이 아닌 계수는 1이다. - 성질 2
어떤 미지수가 어떤 방정식에서 처음으로 등장하면(계수가 처음으로 0이 아니면), 그 외의 다른 행에서는 등장하지 않는다.
즉, 다른 행에서 그 미지수에 붙은 계수는 0이다. - 성질 3
처음 등장하는 미지수(계수가 처음으로 0이 아닌 미지수)의 첨자는 다음 행으로 내려갈 때마다 반드시 증가한다.
➕ 해가 없는 연립 방정식 ➕
위의 3가지 연산을 수행하가다 0 = c (c는 0이 아닌 스칼라)가 나온다면,
주어진 연립방정식은 해가 없음을 뜻한다.
일차결합 증명
아래와 같은 두 식이 있다고 하자.
\(x^3 − 2x^2 − 5x − 3\),
\(3x^3 − 5x^2 − 4x − 9 ∈ P_3(R)\)
이 식에 대해
\(2x^3 − 2x^2 + 12x − 6\)은 두 다항식의 일차결합이지만,
\(3x^3− 2x^2 + 7x + 8\)은 일차결합이 아님을 증명해라.
➡ 이 증명은 두 식에 적절한 스칼라 값을 곱해서 해당 식이 나오는 지를 보면된다.
[일차결합임을 보이기]
다음 식을 만족하는 스탈라 a, b가 존재함을 보이면 된다
\(2x^3 − 2x^2 + 12x − 6\) = a(\(x^3 − 2x^2 − 5x − 3\)) + b(\(3x^3 − 5x^2 − 4x − 9\))
\(= (a + 3b)x^3 + (−2a − 5b)x^2 + (−5a − 4b)x + (−3a − 9b)\)
이는 다음 연립방정식을 푸는 것과 같다.
\(a + 3b = 2\)
\(−2a − 5b = −2\)
\(−5a − 4b = 12\)
\(−3a − 9b = −6\)
a를 소거하기 위해 1행에 적절한 수를 곱하고 다른 행에 더하면 다음 방정식을 얻는다.
\(a + 3b = 2\)
\(b = 2\)
\(11b = 22\)
\(0b = 0\)
다시 2행에 적절한 수를 곱하고 나머지 행에 더하여 다음 방정식을 얻는다.
\(a = −4\)
\(b = 2\)
\(0 = 0\)
\(0 = 0\)
즉, 해는 아래와 같다.
\(2x^3 − 2x^2 + 12x − 6\) = -4(\(x^3 − 2x^2 − 5x − 3\)) + 2(\(3x^3 − 5x^2 − 4x − 9\))
➡ 즉 적절한 스칼라 값이 있으므로 일차결합이다.
[일차 결합이 아님을 보이기]
다음 식을 만족하는 a, b가 존재하지 않음을 보이면 된다.
\(3x^3− 2x^2 + 7x + 8\) = a(\(x^3 − 2x^2 − 5x − 3\)) + b(\(3x^3 − 5x^2 − 4x − 9\))
이는 다음 연립방정식을 푸는 것과 같다.
\(a + 3b = 3\)
\(−2a − 5b = −2\)
\(−5a − 4b = 7\)
\(−3a − 9b = 8\)
a를 소거하면 다음 연립방정식을 얻는다.
\(a + 3b = 3\)
\(b = 4\)
\(11b = 22\)
\(0 = 17\)
이때 \(0 = 17\)은 모순이므로 위 연립방정식의 해는 존재하지 않는다.
➡ 즉 이는 일차결합이 아니다.
생성공간 span
[정의]
- S: 벡터공간 V의 공집합이 아닌 부분집합
- S의 생성공간(span): S의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 \(span(S)\)라 표기한다.
- 즉, 벡터로 이루어진 어떤 집합의 일차결합을 원소로 하는 집합
- 편의를 위해 \(span(∅) = {0}\)라고 정의한다.
예를 들어,
\(R^3\)에서 집합 \({(1, 0, 0), (0, 1, 0)}\)의 생성공간은
형태의 벡터로 이루어진 집합이다.
단, a, b는 스칼라
\({(1, 0, 0), (0, 1, 0)}\)의 생성공간은 xy 평면이고
\(R^3\)의 부분공간이다.
그러므로,
아래 두개의 2차원 벡터로 span하게 되면 모든 2차원 벡터(x,y)를 만들 수 있다.
즉,
- 벡터공간 V의 임의의 부분집합 S의 생성공간은 S를 포함하는 V의 부분공간이다.
- S를 포함하는 V의 부분공간은 반드시 S의 생성공간을 포함한다.
정의
- 벡터 공간 V의 부분집합 S 에 대하여 \(span(S) = V\)이면,
S는 V를 생성한다(generate or span). - 이 경우 S의 벡터가 V를 생성한다고 말항 수 있다.
생성공간의 증명
S의 생성공간(span)은 S의 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합이며 \(span(S)\)라 표기한다.
이므로,
✨ 이 생성공간의 증명도 일차결합과 같이 하면 된다. ✨
증명 1
세 벡터 (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)은 \(R^3\)을 생성한다.
다시말해, \(R^3\)의 임의의 벡터 \((a_1, a_2, a_3)\)은 이 세 벡터의 일차결합임을 증명하라
📜 증명 보기
이를 증명하기 위해서는 다음 조건을 만족하는 스칼라 r, s, t를 찾으면 충분하다.
\(r(1, 1, 0) + s(1, 0, 1) + t(0, 1, 1) = (a_1 , a_2 , a_3 )\)
\(r + s = a_1\)
\(r + t = a_2\)
\(s + t = a_3\)
이므로 정리 공식에 의해 정리하면
\(r = a_1 - s\)
\(t = a_2 - a_1 + s\)
\(s = a_3 - a_2 + a_1 - s\)
여기서 3행을 정리하면
\(s = a_3 - a_2 + a_1 - s\)
\(2s = a_3 - a_2 + a_1\)
\(s = 1/2(a_3 - a_2 + a_1)\)
그리고 정리한 것을 1,2 행에 대입하면
\(r = 1/2(a_1 + a_2 − a_3)\)
\(s = 1/2(a_1 − a_2 + a_3)\)
\(t = 1/2(-a_1 + a_2 + a_3)\)
이다.
즉 각 값을 만족하는 r, s, t를 정의할 수 있으므로 이는 일차결합이다.
평면에 적용
이전의 포스트에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 중 한 점이 원점일 때,
평면의 방정식이,
x = su + tv
- u, v ∈ R^3
- s, t는 스칼라
임을 설명하였다.
x ∈ R^3이 u, v ∈ R^3의 일차결합이기위한 필요충분조건은
x가 u와 v를 포함하는 편면에 포함되는 것이다.
