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[13] Vector Spaces: 부분 공간, 행렬의 종류

10 Dec 2019

Reading time ~3 minutes

Table of Contents
  • 목차
  • 부분공간(subspace) 정의
    • 부분공간이기 위한 필요충분조건
      • 직합 direct sum
  • 행렬의 종류
    • 정방행렬 Square Matrix
    • 전치행렬 transpose matrix
    • 대칭행렬 symmetric matrix
    • 영행렬 Zero Matrix
    • 삼각행렬 triangular matrix
    • 대각행렬 diagonal matrix
    • 항등행렬 Identity Matrix
    • 직교행렬 orthogonal matrix

목차

  • 부분공간(subspace) 정의
    • 부분공간이기 위한 필요충분조건
      • 직합 direct sum
  • 행렬의 종류
    • 정방행렬 Square Matrix
    • 전치행렬 transpose matrix
    • 대칭행렬 symmetric matrix
    • 영행렬 Zero Matrix
    • 삼각행렬 triangular matrix
    • 대각행렬 diagonal matrix
    • 항등행렬 Identity Matrix
    • 직교행렬 orthogonal matrix

벡터 공간에서 부분집합의 대수적 구조를 살펴보겠다.

부분공간(subspace) 정의

  • F-벡터공간 V의 부분 집합 W를 생각해보자.
  • 이 부분집합 W가 V에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 F-벡터공간일 때, V의 부분공간이라고 한다.
  • 즉, 영벡터를 포함하며 덧셈과 곲셈에 닫혀있는 부분집합

부분공간이기 위한 필요충분조건

즉 부분공간인지 증명하려면 아래의 3개 조건만 증명해주면 된다

[점공간인 부분공간(zero subspace)]

  • 모든 벡터공간 V에 대하여 V와 {0}은 부분공간이다.
  • 특히 이 중에서 {0}은 점공간인 부분공간이라고 한다.

[부분집합 W가 V의 부분공간이기 위한 필요충분조건]

  • 모든 x ∈ W, y ∈ W에 대하여 x+y ∈ W 이다. (W는 덧셈에 대하여 닫혀있다.)
  • 모든 c ∈ F, x ∈ W에 대하여 cx ∈ W 이다. (W는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다.)
  • W는 영벡터를 포함한다.
  • W에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 W에 대한 원소이다.

➡ 즉 위의 정리들에 따르면 W의 영벡터와 V의 영벡터는 반드시 같다.
➡ 그러므로 부분공간인지 확인할 때, 마지막 성질은 굳이 확인할 필요 없다.

직합 direct sum

벡터공간 V와 부분공간 \(W_1\), \(W_2\)에 대하여
아래의 두 조건을 만족시키면 V 는 \(W_1\)와 \(W_2\)의 직합이라고 한다.
\(V = W_1 ⊕ W_2\)

  • \[W_1 ∩ W_2 = {0}\]
  • \(W_1 + W_2 = V\)
    W 1 W 2
    즉 이러한 작합의 특징은 부분 공간을 증명하기 위한 2가지 조건이 들어가 있기 때문에,
    부분공간 증명에 사용 시 유리하다.

행렬의 종류

정방행렬 Square Matrix

  • 행과 열의 수가 같은 행렬
  • 행렬의 기본
\[A_{m,n} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{n,n} \end{pmatrix}\]

전치행렬 transpose matrix

  • 주대각선 원소를 기준으로 행과 열을 바꿔주는 행렬
  • 행과 열을 바꾸기 때문에 주대각선 원소는 변하지 않음
  • 즉, m x n 의 \(A^t\)는 A의 행과 열을 바꾸어 얻은 n x m 행렬이다.
  • 즉, \((A^t)_{ij} = A_{ji}\)
\[\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\]

대칭행렬 symmetric matrix

  • \(A^t = A\)인
  • 대칭행렬은 반드시 정사각행렬이어야한다.
\[\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\]

영행렬 Zero Matrix

  • 모든 원소가 0인 행렬
  • 곱셈 연산에서 영원으로 작용하는 행렬
  • 어떤 행렬을 영행렬에 곱하면 결과는 영행렬
\[\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

삼각행렬 triangular matrix

  • 주대각선 원소를 기준으로 위 또는 아래에 있는 성분이 모두 0인 정방행렬
  • 하삼각행렬(Lower Triangular Matrix): 위의 성분이 모두 0
  • 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix): 아래의 성분이 모두 0
\[A_{m,n} = \begin{pmatrix} 0 & upper & upper & upper \\ lower & 0 & upper & upper \\ lower & lower & 0 & upper \\ lower & lower & lower & 0 \end{pmatrix}\]

대각행렬 diagonal matrix

  • 주대각선 원소를 제외한 모든 원소들이 0인 정방행렬
  • 주대각선 원소: 한 행렬에서 (0,0), (1,1), (2,2), … , (n,n) 원소
\[A_{m,n} = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}\]

➕ 대각합

  • 모든 대각 성분의 합
  • \(tr(M)\)으로 표기
    \(tr(M) = M_{11}+M_{22}+ ... + M_{nn}\)

항등행렬 Identity Matrix

  • 행렬 곱셈 연산에 항등원으로 작용하는 행렬
  • 주대각선 성분이 모두 1인 정방행렬
  • 해당 행렬에 다른 행렬을 곱하면 결과는 곱한 행렬이 그대로 나오게 됨
  • 단위행렬이라고 부르기도 함
\[A_{m,n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

직교행렬 orthogonal matrix

  • 행렬 A의 역행렬이 A의 전치행렬이고
    A의 전치행렬과 A 행렬을 곱하였을 때,
    항등행렬이 나오는 행렬
  • \[A^T = A^{-1}\]
  • \[A^TA = I\]

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