목차

• 대수적 구조로서 벡터의 개념
• 벡터공간
  • \(F^n\)
  • \(M_{m×n}(F)\)
• 용어정리

대수적 구조로서 벡터의 개념

벡터의 정의

field 에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space) V는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합 과 스칼라 곱 을 가지는 집합이다.

• 합 (sum): V 의 두 원소 x, y 에 대하여 유일한 원소 x + y ∈ V 를 대응하는 연산이다.
  이때, x + y 는 x와 y 의 합 이라 한다.
• 스칼라 곱 (scalar multiplication): field 의 원소 a 와 벡터공간 V 의 원소 x 마다 유일한 원소 ax ∈ V를 대응하는 연산이다. 이때, ax는 a와 x의 스칼라 곱 (product) 이라 한다.

(1) 모든 x, y ∈ V에 대하여 x + y = y + x이다. (덧셈의 교환법칙)
(2) 모든 x, y, z ∈ V에 대하여 (x + y) + z = x + (y + z)이다. (덧셈의 결합법칙)
(3) 모든 x ∈ V에 대하여 x + 0 = x인 0 ∈ V이 존재한다.
(4) 각 x ∈ V마다 x + y = 0인 y ∈ V가 존재한다.
(5) 각 x ∈ V에 대하여 1x = x이다.
(6) 모든 a, b ∈ F 와 모든 x ∈ V에 대하여 (ab)x = a(bx)이다.
(7) 모든 a ∈ F 와 모든 x, y ∈ V에 대하여 a(x + y) = ax + ay 이다.
(8) 모든 a, b ∈ F 와 모든 x ∈ V에 대하여 (a + b)x = ax + bx이다.

개념

• 스칼라(scalar): field 의 원소
• 벡터(vector): 벡터공간 V의 원소
  • 유향선분 ‘벡터’ 와 이번 절에 등장한 ‘벡터’ 를 혼동 주의
  • 이번 절의 벡터는 벡터공간의 원소를 가리키는 일반적인 개념이다.
  • 벡터공간은 정확하게 ‘F -벡터공간 V’라 표기해야 한다.
  • 혼란의 여지가 없으면 체 F(field) 를 생략하고 ‘벡터공간 V ’라 적는다.

벡터공간

자주 사용하는 대표적인 벡터공간을 소개하겠다.
벡터공간을 정의하기 위해 아래의 요소를 정확히 서술해야 한다.

• 집합
• 원소(벡터)
• 두 연산 (합과 스칼라 곱)

아래의 소개하는 연산들이 (VS1)부터 (VS8)까지 8 가지 조건을 만족함을 확인해 보기 바란다.

기본 개념

[n 순서쌍 (n-tuple)]

• \(a_1 , a_2 , . . . , a_n\)이 체 F 의 원소일 때,
• \((a_1 , a_2 , . . . , a_n)\) 꼴의 수학적 대상을 F 에서 성분을 가져온 n 순서쌍 (n-tuple)이라한다.

[성분 (entry 또는 component)]

• 순서쌍을 구성하는 원소 \(a_1 , a_2 , . . . , a_n\)을 n 순서쌍의 성분 (entry 또는 component) 이라 한다.

[같다 (equal)]

• F 에서 성분을 가져온 두 n 순서쌍 \((a_1 , a_2 , . . . , a_n)\) 과 \((b_1 , b_2 , . . . , b_n)\) 은 \(a_i = b_i (i = 1, 2, . . . , n)\)일 때, 같다 (equal) 고 정의한다.

\(F^n\)

\(F^n\)의 의미

• 체 F 에서 성분을 가져온 모든 n순서쌍의 집합
• \(u = (a_1 , a_2 , . . . , a_n) ∈ F^n\)
  \(v = (b_1 , b_2 . . . , b_n ) ∈ F^n\)
  \(c ∈ F\) 일 때,
  합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 F-벡터공간이다.

\(R^3\)의 합과 스칼라 곱

• 따라서 \(R^3\) 은 R-벡터공간이다.
• 예를 들어, \(R^3\) 에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.

\(C^2\)의 합과 스칼라 곱

• 같은 방식으로 \(C^2\) 은 C-벡터공간이다.
• 예를 들어 \(C^2\)에서 합과 스칼라 곱은 다음과 같이 구한다.

표현

• \(F^n\) 의 벡터는 행벡터(row vector) (a 1 , a 2 , . . . , a n )보다 다음과 같은 열벡터(column vector) 로 표현한다.

➕ F 에서 성분을 가져온 1순서쌍으로 이루어진 벡터공간은 F 1 이라 쓰기보다 편하게 F 라 쓰는 경우가 많다.

[행렬 (matrix)]

• F 에서 성분을 가져온 m × n 행렬 (matrix) 은 다음과 같은 직사각형 모양의 배열이다.

• 이때, 모든 \(a_{ij} (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)\)는 F 의 원소이다.
• 대각성분 (diagonal entry): i = j 인 성분 \(a_{ij}\)
• i 번째 행 (row): \(a_{i1} , a_{i2} , . . . , a_{in}\)
• j 번째 열(column): \(a_{1j} , a_{2j} , . . . , a_{mj}\)
• 영행렬 (zero matrix): 모든 성분이 0인 m × n 행렬, O로 표기함
• 행렬은 이탤릭 대문자 (A, _B, _C 등) 를 사용하여 나타낸다.
• 정사각행렬(square matrix): 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬
• 같다: 두 m × n 행렬 A, B 에서 대응하는 성분이 모두 일치할 때, 같다고 정의

\(M_{m×n}(F)\)

\(M_{m×n}(F)\): 성분이 체 F 의 원소인 모든 m × n 행렬의 집합

[합, 스칼라 곱]

• 합
  \((A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}\)

• 스칼라곱
  \((cA)_{ij} = cA_{ij}\) (단, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)

용어정리

다항식 (polynomial)

• 계수가 체 F 의 원소인 다항식은 다음과 같이 정의한다.
  \(f (x) = a_{n}x^n +a_{n-1}x^{n-1} + ··· + a_1x + a_0\)
  • 이때 n은 음이 아닌 정수
  • 각 \(a_k\) (\(x^k\) 의 계수(coefficient) )는 F 의 원소이다

영 다항식 (zero polynomial)

• \(f (x) = 0\)이면, 다시 말해 \(a_n = a_{n−1} = · · · = a_0 = 0\) 일 때
• 편의를 위해 영 다항식의 차수는 −1로 정의한다.

차수(degree)

• 아래의 식이 영 다항식이 아닌 다항식이라고 가정해보자.
  \(f (x) = a_{n}x^n +a_{n-1}x^{n-1} + ··· + a_1x + a_0\)
• 이때 다항식의 차수(degree) 는 계수가 0이 아닌 항의 x의 지수 중 가장 큰 값으로 정의한다.
• 차수가 0인 다항식은 f (x) = c 꼴이다(단, c는 0이 아닌 스칼라).
  두 다항식 f , g 를 살펴보자.

(VS3) 모든 x ∈ V에 대하여 x + 0 = x인 0 ∈ V이 존재한다.
(VS4) 각 x ∈ V마다 x + y = 0인 y ∈ V가 존재한다.

영벡터(zero vector)

• ‘모든 x ∈ V에 대하여 x + 0 = x인 0 ∈ V이 존재한다.’를 만족하는 벡터 0은 V의 영벡터(zero vector) 라 한다.

역벡터 (additive inverse)

• ‘각 x ∈ V마다 x + y = 0인 y ∈ V가 존재한다.’를 만족하는 벡터 y
• 다시 말해 x + y = 0 을 만족하는 유일한 벡터 y 는 덧셈에 대한 x 의 역벡터 (additive inverse) 라 한다.
• −x 로표기한다.

스칼라 곱의 기본 성질

• 모든 벡터공간 V에 대하여 다음이 성립한다. (1) 모든 벡터 x에 대하여 0x = 0이다. (2) 모든 스칼라 a와 모든 벡터 x에 대하여 (−a)x = −(ax) = a(−x)이다. (3) 모든 스칼라 a에 대하여 a0 = 0이다