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벡터란?
크기와 방향을 모두 가진 물리량을 벡터 (vector) 라 한다.
📜 크기와 물리량을 갖고있는 예
- 힘
- 속도(velocity); 크기와 방향을 모두 가진 물리량을 가리키는 과학용어
방향을 무시한 속도의 크기인 속력(speed)과는 차이가 있다. - 가속도
[벡터의 표현]
벡터는 흔히 화살표로 표현한다.
- 화살표의 길이: 벡터의 크기
- 화살표의 방향: 벡터가 작용하는 방향
벡터로 기술할 수 있는 물리적 상황은 크기와 방향만 고려하면 충분한 경우가 많다.
다시 말해, 벡터가 어디에 위치했는지와 무관하게 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터로 생각한다.
벡터에 담긴 기하학적 의미
한 지점에 두 개의 물리량이 작용하였을 때, 합력은 두 물리량의 크기만 합되는게 아니다.
즉, 왼쪽으로 1만큼의 힘을, 그 반대인 오른쪽으로 2만큼의 힘을 준다면 이 힘이 3만큼이라고 말할 수 없기 때문이다.(방향에 따라 상쇄된다!)
위 예를 통해 두 물리량이 함께 작용할 때, 물리량의 크기 뿐 아니라 방향을 함께 고려해야 함을 알 수있다.
➡ 이러한 두 물리량이 결합될때 나타나는 효과는 합성벡터로 설명 가능하다.
벡터 합
합성벡터
두 물리량이 결합될 때 나타나는 효과는 두 벡터를 결합시켜 얻은 합성벡터로 설명할 수 있다.
이 합성벡터를 두 벡터의 합(sum) 이라 한다.
벡터 합의 평행사변형 법칙 (parallelogram law)
- 두 벡터를 결합시키는 규칙
- 의미:
- 벡터 합의 평행사변형 법칙 시점이 P 로 일치하는 두 벡터 x, y 가 있음
- 이 두 벡터 x, y의 합은 점 P 에서 시작하는 벡터 이다
- 이는 x와 y 를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타난다.
벡터 합의 평행사변형 법칙의 성질
평행사변형의 대변은 평행하고 길이가 같음
- (벡터 x + y 의 종점 Q) = (점 P 에서 시작하는 벡터 x 의 종점) + (벡터 y 의 시점)
- (벡터 x + y 의 종점 Q) = (벡터 y 의 종점) + (벡터 x 의 시점)
➡ 점 P 에 작용한 두 벡터를 합할 때는 한벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 이어붙이는 방식으로 더한다.
➡ x와 y 중에 어느 것을 먼저 택하고, 어느 것을 처음 벡터의 종점에 이어붙일지 그 순서는 중요하지 않다.
스칼라 곱
벡터의 크기를 확대하거나 축소 가능
➡ 이를 벡터에 실수를 곱하는 스칼라 곱 (scalar multiplication) 이라는 연산으로 나타낸다.
- 벡터 x: 유향선분(길이만이 아니라 방향도 가지고 있는 선분, 선분 AB에서, A에서 B의 방향으로의 유향선분 와 B에서 A로의 유향선분 는 다른 것으로 생각한다).
- 0 이 아닌 실수 t
- 벡터 tx 의 방향은 t > 0 일 때 x 의 방향과 같음
- t < 0 일 때 x 의 방향과 180 ◦ 반대
-
벡터 tx 의 크기: 유향선분 x 의 크기에 t 를 곱한 것 - 0 이 아닌 두 벡터 x, y 에 대하여 y = tx인 0이 아닌 실수 t가 존재할 때, 두 벡터는 평행 (parallel) 하다.
➡ 방향이 같거나 180 ◦ 반대인 벡터들은 평행하다.
두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식
[가정]
- 공간에서 서로 다른 두 점 A, B 를 지나는 직선을 생각하자.
- 이 공간에 공간좌표를 부여하고 원점을 O 라 표기하자.
- 시점이 O 이고 종점이 A, B 인 두 벡터를 각각 u, v 라 하자.
- 시점이 A이고 종점이 B 인 벡터를 w 라 하자
시점과 종점을 이어붙이는 방식에 의하면 \(u + w = v\)이다.
➡ 즉, \(w = v − u\) 이다.
이때, −u는 (−1)u를 의미한다.
w 의 스칼라 곱은 w 에 평행하지만, 크기는 w 와 다를 수있다.
[임의의 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식]
그럼 임의의 점 x를 찍어 어떤 공식이 성립하는지 확인해보자
- x: 직선 위의 임의의 점
- 두 점 A, B 를 이은 직선 위 임의의 점 x는 A 를 시점으로 하는 벡터의 종점이다.
- x를 적절한 실수 t 에 대하여 tw 의 형태로 표현할 수 있다.
- 반대로, A를 시점으로 하는 벡터 tw 의 종점은 두 점 A, B 를지나는 직선 위의 점이다.
- 따라서 두 점 A, B 를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.
\(x = u + tw = u + t(v − u)\) (단, t는 임의의 실수이고 x는 직선 위 임의의 점)
- 아래 그림 벡터 v − u 의 종점 C 의 좌표는 B 의 좌표에서 A 의 좌표를 뺀 것과 같음을 확인 가능
세 점 A, B, C 로 결정되는 평면
[공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C 로 결정되는 평면]
스칼라곱의 원리를 이용하여 설명 가능하다.
- A, B, C
- 이제 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점
- 이 세 점은 하나의 평면을 결정함
- 벡터의 성질을 이용하여 평면의 방정식을 구할 수 있음
- u, v
- 시점이 A 이고 종점이 B, C 인 두 벡터
- S
- 세 점 A, B, C 로 이루어진 평면 위 임의의 점
- A 를 시점으로 함
- su + tv 형태 (이때, s 와 t 는 임의의 실수) 인 벡터 x 의 종점이다.
- 벡터 su 의 종점: 직선 AB 와, 점 S 를 지나고 직선 AC 와 평행한 직선의 교점
- 벡터 tv 의 종점: 벡터 su 의 종점과 같은 방식으로 도 알 수 있음
임의의 실수 s, t에 대하여 벡터 su + tv 는 세 점 A, B, C 를 포함하는 평면에 위치한다.
따라서 세 점 A, B, C 를 포함하는 평면의 방정식은 다음과 같다.
\(x = A + su + tv\) (단, s, t는 임의의 실수이고 x는 평면 위 임의의 점)